9.Интегрирование некоторых классов иррац функций

Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.

1. Интегралы вида , где R-рациональная функция, -целые числа преобразуются в интегралы от рациональных функций с помощью подстановки ,где к-общий

знаменатель дробей

2. Интегралы вида , где -некоторые

числа m-натуральное число, преобразуются с помощью

подстановки .

3. Интегралы вида , где -некоторые числа :

1) если трёхчлен имеет вещественные корни и >0, то и . Имеем предыдущий случай.

2) если трёхчлен не имеет вещественных корней и >0, то интеграл преобразуется подстановкой Эйлера .

3) если трёхчлен не имеет вещественных корней, <0 и с>0,

то применяют другую подстановку Эйлера .

4) выделим полный квадрат: .

С помощью подстановки интеграл сводится в зависимости от коэффициентов к одному из следующих интегралов:

замена

замена или замена или

10.Интегрирование тригонометрических выражений

1. Интегралы вида , где R-рациональная функция, приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью так называемой универсальной тригонометрической подстановки .

2. Интегралы вида , где m и n-положительные целые

чётные числа, вычисляются с помощью формул:

Если n-нечётное положительное число, то применяется

подстановка sinx = t,

если m-нечётное положительное число, то применяется

подстановка cosx = t.

В общем случае интегралы этого вида вычисляются с помощью рекуррентных формул, которые выводятся путём интегрирования по частям.

3. Интегралы вида , ,

где , вычисляются с помощью формул:

4. Интегралы вида , , где m = 2,3,… вычисляются с помощью формул .

11. Определение определенного интеграла и его св-ва

Пусть на отрезке   задана функция  . Выполним следующие действия.

1.С помощью точек деления  разобьем отрезок   на n “малых” отрезков  где в каждом из малых отрезков     выберем произвольную точку   и умножим значение функции   в точке  на длину  соответствующего отрезка. Составим сумму   всех таких произведений. Сумма вида (2) называется интегральной суммой для функции   на отрезке  .

4.Наибольшую из длин малых отрезков обозначим λ  и назовем ее шагом разбиения. Пусть число отрезков разбиения неограниченно растет . Если при этом интегральная сумма   имеет конечный предел, который не зависит ни от способа разбиения отрезка   на малые отрезки, ни от выбора точек   в каждом из них, то этот предел называется определенным интегралом от функции   на отрезке   и обозначается 

Имеет место теорема существования определенного интеграла.

Всякая непрерывная на отрезке   функция интегрируема на этом отрезке.

определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой   прямыми   и   и осью OX.  

основные свойства определенного интеграла

1.Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (a=b), то интеграл равен нулю:

Это свойство следует из определения интеграла.

2.Если f(x)=1, то

Действительно, так как f(x)=1, то

3.При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

4.Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

R.

5.Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых на [a; b] функций f₁(x), f₂(x), …, f_n(x) равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых:

6.(аддитивность определенного интеграла). Если существует интегралы и то существует также интеграл и для любых чисел a, b, c;

7.Если f(x) ≥ 0 [a; b], то

a<b.

8.(определенность определенного интеграла). Если интегрируемые функции f(x) и φ(x) удовлетворяют неравенству f(x) ≥ φ(x) [a; b], то

a>b.

9.(об оценке определенного интеграла). Если m и М – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x), непрерывной на отрезке [a; b], то

a<b.

10.(теорема о среднем). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то существует такая точка [a; b], что

т. е. определенный интеграл от переменной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке ξ отрезка интегрирования [a; b] и длины b-a этого отрезка.