24.Нахождение частных реш лин неоднор диффер уравн 2го порядка с пост коэфф по виду правой части

Рассмотрим способы нахождения частного решения неоднородного уравнения при специальных видах правой части f(x).

Пусть правая часть уравнения (8.1) имеет вид

f(x) = e^σx P_n(x),(8.3)где σ – некоторое действительное число, называемое контрольным числом правой части уравнения (8.1), а P_n(x) = a₀ + a₁x + … + a_nxⁿ (8.4) есть многочлен степени n ≥ 0 с действительными коэффициентами. При n = 0 (8.4) задаёт многочлен нулевой степени P_n(x) = a₀ ≠ 0, который не нужно путать с так называемым нулевым многочленом – функцией, являющейся тождественным нулём.

Заметим, что при σ = 0 правая часть уравнения (8.1) будет представлять собой многочлен (8.4).

Пусть правая часть уравнения (8.1) имеет вид (8.3). Тогда а) если контрольное число σ не является корнем характеристического уравнения соответствующего приведённого однородного уравнения, то частное решение необходимо искать в виде у = е^σх Q_n(x); (8.5) б) если σ является простым (однократным) корнем характеристического уравнения (7.2), то частное решение находят в виде у = хе^σх Q_n(x); (8.6)

в) если σ является двукратным корнем характеристического уравнения (7.2), то частное решение надо искать в виде у = х²е^σх Q_n(x).(8.7)

В выражениях (8.5) – (8.7) многочлен Q_n(x) есть многочлен такой же степени, что и многочлен Р_n(x), стоящий в правой части (8.3), т.е. он имеет вид

Q_n(x) = b₀ + b₁x + … + b_nxⁿ. (8.8)

Коэффициенты b_r (r = 0, 1, ..., n) многочлена (8.8) подлежат нахождению. Это делается следующим образом. Для соответствующей ситуации функции (8.5), (8.6), (8.7) и входящие в уравнение производные подставляются в (8.1). После этого сокращают на е^σх и приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа. Получится система алгебраических уравнений для нахождения коэффициентов b_r многочлена (8.8). Этот способ нахождения чисел b_r называют методом неопределённых коэффициентов.

Данный вывод о нахождении частных решений уравнения (8.1) относится и к случаю σ = 0, т.е. случаю, когда правая часть f(x) этого уравнения имеет вид (8.4). Тогда в ситуациях б) и в) можно было бы поступить иначе. В ситуации б) имеем q = 0 и можно понизить порядок уравнения, применяя подстановку z = y′. В ситуации в) имеем, что коэффициенты p и q равны нулю; тогда уравнение может быть решено интегрированием, т.к. оно имеет вид у′′ = P_n(x).

25. Числовой ряд и его сумма; сход и расход ряды

Определение 1. Выражение вида

(6)

(в краткой записи ), состоящее из суммы членов бесконечной числовой последовательности (5), называется числовым рядом (или просто рядом).

Элементы , из которых образовано выражение (6), называют членами данного ряда.

В основном -й член задаётся для всех единой аналитической формулой. Тогда называют общим членом ряда. Ряд будет считаться заданным, если будет указана формула его общего члена .

Определение 2. Сумма первых членов ряда (6) называется -й частичной суммой ряда и обозначается через , т.е. (7)

Очевидно, что с увеличением частичные суммы (7) расширяются до формального ряда (6). Поскольку сложение бесконечного множества чисел не определено, то естественно будет назвать суммой ряда (6) предел последовательности (8) его частичных сумм. Известно, что любая числовая последовательность либо сходится (имеет конечный предел), либо расходится (имеет пределом или вообще не имеет никакого предела – ни конечного, ни бесконечного).

Определение 3. Если существует конечный предел последовательности (8) частичных сумм ряда (6), то этот предел называют суммой этого ряда (при этом записывают ) и говорят, что ряд сходится. Если или вообще не существует, то ряд называется расходящимся.

Если , то условно пишут ; соответственно , если .