Ч. 1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1. Классическое и геометрическое определение вероятности. Элементы комбинаторики
1. Cколькими способами можно разместить на полке четыре книги?
2. Сколькими способами читатель может выбрать три книги из пяти?
3. Сколькими способами можно из 20 присяжных заседателей отобрать трех для участия в судебном процессе?
4. Сколькими способами можно разместить на 25 местах четырех учащихся?
5. Сколькими способами из 20 членов правления фирмы можно отобрать трех для замещения вакансий вице-президента, отвечающих соответственно за производство, финансы и реализацию продукции?
6. На железнодорожной станции имеется 10 путей. Сколькими способами можно расставить на них 3 состава?
7. Среди студентов, собравшихся на лекцию по ТВ, выбирают наудачу одного. Событие А = выбран юноша; В =не курит; С =живет в общежитии.
а) Описать
событие
.
б) При каком условии будет иметь место тождество АВС = А?
в) Когда
будет справедливо соотношение
?
г) Может
ли быть верным равенство
,
если все юноши курят?
8. Мишень
состоит из 10 кругов, ограниченных
концентрическими окружностями с радиусом
,
причем
.
Пусть событие
попадание
в круг радиуса
.
Что означают события:
;
;
?
9.Пусть А, В, С три произвольных события. Записать выражения для событий, состоящих в том, что из событий А, В, С:
а) произошло только А;
б) произошло А и В, но С не произошло;
в) все три события произошли;
г) произошло, по крайней мере, одно из этих событий;
д) произошло, по крайней мере, два события;
е) произошло одно и только одно событие;
ж) произошло два и только два события;
з) ни одно событие не произошло;
и) произошло не более двух событий.
10. Из слова “НАУГАД” выбирается одна буква случайным образом. Какова вероятность того, что это буква Я? Какова вероятность того, что это гласная?
11. Лотерея состоит из 1000 билетов, среди них 150 выигрышных. Наугад вынимается 1 билет из 1000. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?
12. Студент знает ответы на 20 вопросов из 30. Какова вероятность того, что он вытащит на экзамене известный ему вопрос?
13. В студенческой группе 15 девушек и 10 юношей. Случайным образом (по жребию) выбирают одного. Найти вероятность того, что отобран будет юноша.
14.При броске игральной кости вычислить вероятности следующих событий:
а) выпало 2 очка;
б) выпало 5 очков;
в) выпало простое число очков;
г) число выпавших очков кратно трем;
д) выпало нечетное число очков.
15. При броске двух игральных костей вычислить вероятности следующих событий:
а) сумма выпавших очков больше их произведения;
б) сумма очков будет делиться на 3;
в) сумма очков будет четной (нечетной);
г) сумма очков не менее 9;
д) выпала единица, по крайней мере, на одной кости;
е) сумма очков – четная, причем хотя бы на одной кости выпала 6;
ж) сумма выпавших очков равна восьми, а разность – четырем;
з) сумма выпавших очков равна пяти, а произведение – четырем.
16. В партии из 100 изделий находится 5 бракованных. Для контроля было наугад выбрано 5 изделий. Какова вероятность того, что среди них будет ровно одно бракованное.
17. Служащий банка утратил 5-значный код одного из сейфов, состоящий из различных цифр. Однако он помнит только первые 2 цифры этого кода. Какова вероятность того, что первая набранная им наугад комбинация цифр окажется правильной?
18. Слово составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Карточки смешивают и вынимают без возврата по одной случайным образом. Найти вероятность того, что карточки с буквами вынимаются в порядке следования букв заданного слова: а) «событие»; б) «статистика».
19. Из 20 сбербанков 10 расположены за чертой города. Для обследования случайным образом отобрано 5 сбербанков. Какова вероятность того, что среди отобранных в черте города окажется: а) 3 сбербанка; б) хотя бы один?
20. На фирме работают 8 аудиторов, из которых 3 – высокой квалификации, и 5 программистов, из которых 2 – высокой квалификации. В командировку надо отправить группу из 3 аудиторов и 2 программистов. Какова вероятность того, что в этой группе окажется по крайней мере 1 аудитор высокой квалификации, если каждый специалист имеет равные возможности поехать в командировку?
21. В городе находятся 15 продовольственных и 5 непродовольственных магазинов. Случайным образом для приватизации были отобраны три магазина. Найти вероятность того, что все эти магазины непродовольственные.
22. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется:
а) внутри вписанного в круг квадрата;
б) за пределами вписанного в круг квадрата.
23. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет:
а) в кольцо, образованное построенными окружностями;
б) в малый круг.
24. В отделе научно-исследовательского института работают несколько человек, причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык. 6 человек из них знают английский, 6 – немецкий, 7 – французский, 4 – английский и немецкий, 2 – английский и французский, 3 – немецкий и французский, 1 человек знает все три языка. Сколько человек работает в отделе? Сколько из них знает только английский язык? Сколько человек знает только один язык?
25. Человек забыл последнюю цифру телефонного номера. Сколькими способами он может сделать набор, для того чтобы попасть в нужное место не более, чем с третьего раза?