;, Т.Е. Вероятность достоверного события равна единице;
Вероятность события , заключающееся в том, что наступит одно из попарно несовместных событий ( ), составляет
.
Эти условия должны выполняться и для бесконечных последовательностей попарно несовместных событий, т.е. должны выполняться также и условия в определении –алгебры . Таким образом, из условия 3 следует:
.
Эти условия составляют аксиомы теории вероятностей.
Вся теория вероятностей строится на этих трех аксиомах. Исходные аксиомы постулируются и попытка доказать их лишена смысла. Единственным возможным критерием справедливости этих аксиом является степень, с которой теория, построенная на их основе, отражает реальность. Этот критерий, кстати, справедлив и для любой другой естественнонаучной теории.
Итак,
определенная теоретико–вероятностная
схема задается тремя компонентами
,
т.е.:
конкретным пространством элементарных исходов , выступающим в роли базиса, в котором описываются все наблюдаемые события;
конкретным набором подмножеств пространства элементарных исходов , образующим –алгебру и являющимся областью определения функции вероятности
;конкретным заданием вероятностей на всех множествах –алгебры .
Набор этих трех компонент , удовлетворяющий аксиомам теории вероятностей, называется вероятностным пространством или вероятностной схемой.
Полная группа событий
Множество
попарно несовместных событий называют
полной группой событий, если при
любом исходе случайного эксперимента
непременно наступает одно из событий,
входящих в это множество. Другими
словами, для полной группы событий
выполнены следующие условия:
появление одного из событий данного множества в результате испытания является достоверным событием, т.е. событие
;события и
(
)
попарно несовместимы и
– событие невозможное при любых
,
т.е.
.
Простейшим примером полной группы событий является пара противоположных событий и .
Теорема. Сумма вероятностей событий полной группы равна единице:
.
Условная вероятность
Во многих случаях вероятности появления одних событий зависят от того, произошло другое событие или нет.
Вероятность
события
,
вычисленная при условии, что произошло
другое событие
,
называется условной вероятностью
события
и обозначается
.
Вероятность
каждого события в данном испытании
связана с наличием известного комплекса
условий. При определении условной
вероятности мы полагаем, что в этот
комплекс условий обязательно входит
событие
.
Таким образом, мы имеем другой, более
обременительный комплекс условий,
соответствующий испытанию в новой
обстановке. Вероятность
появления события
при этих новых условиях называется его
условной вероятностью в отличие от
вероятности
,
которая может быть названа безусловной
вероятностью события
.
В тех
случаях, когда вероятность события
рассматривается при условии, что имели
место два других события
и
,
используется условная вероятность
относительно произведения событий
и
:
.
Формула умножения вероятностей
Теорема: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие имело место:
.
Доказательство:
Предположим, что из
возможных элементарных исходов событию
благоприятствуют
исходов, из которых
исходов благоприятствуют событию
.
Тогда вероятность события
будет
,
условная вероятность события
относительно события
будет
.
Произведению событий и благоприятствуют только те исходы, которые благоприятствуют и событию , и событию одновременно, т.е. исходов. Поэтому вероятность произведения событий и .
Умножив числитель и знаменатель этой дроби на , получим:
.
Аналогично
доказывается и формула
.
Теорему умножения вероятностей легко обобщить на любое конечное число событий.
Теорема: Вероятность произведения конечного числа событий равна произведению их условных вероятностей относительно произведения предшествующих событий:
.
Для доказательства этой теоремы можно использовать метод математической индукции.