Предельные вероятности

Следующей важной задачей является исследование вероятностей переходов системы при неограниченном увеличении числа .

Теорема Маркова. Пусть существует такое число шагов, при которых все вероятности строго положительны (отличны от нуля). Тогда для каждого состояния существует предельная вероятность его наступления, т.е. такое число , что независимо от исходного состояния имеет место равенство .

Смысл содержащегося в теореме утверждения интуитивно понятен: вероятность того, что система окажется в состоянии не зависит от предыстории системы и мало отличается от предельной величины . Найти эти вероятности можно следующим образом. Воспользуемся доказанным ранее равенством Маркова . Если перейти к пределу при , то получим . Если дополнить это уравнение условием нормировки , то получится система уравнений, решениями которой и будут искомые величины . Причем, несложно показать, что эта система определяет величины однозначно, т.е. полученные значения единственны.

Контрольные вопросы к теме №4

1. Понятие корреляционной зависимости.

2. Корреляционный анализ, критерий Пирсона.

3. Выборочный линейный коэффициент корреляции.

4. Понятие генерального коэффициента корреляции.

5. Понятие доверительного интервала и методы его определения.

6. Проверка статистических гипотез.

7. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.

8. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий.

9. Проверка статистической значимости выборочного коэффициента корреляции.

10. Понятие регрессионного анализа.

Экзаменационные вопросы

1. Понятие случайного эксперимента. Пространство элементарных событий. Достоверное и невозможное событие.

2. Операции над событиями (сумма, разность, произведение). Совместные и несовместные события. Противоположное событие.

3. Свойства операций над событиями.

4. Алгебра и  – алгебра событий.

5. Классическое определение вероятности события.

6. Статистическое определение вероятности события.

7. Геометрические вероятности.

8. Понятие о полной группе событий.

9. Формулы сложения вероятностей для несовместных и совместных событий.

10. Условная вероятность. Формула умножения вероятностей. Независимость событий.

11. Формула полной вероятности.

12. Формула Байеса.

13. Основные понятия комбинаторики. Правила суммы и произведения. Перестановки, размещения, сочетания и формулы для их вычисления.

14. Схема независимых испытаний Бернулли. Наивероятнейшее число наступления событий в схеме Бернулли.

15. Теорема Пуассона.

16. Локальная теорема Муавра – Лапласа.

17. Интегральная теорема Муавра – Лапласа.

18. Случайная величина и ее функция распределения. Свойства функции распределения.

19. Непрерывные и дискретные случайные величины.

20. Математическое ожидание случайной величины и его свойства.

21. Дисперсия случайной величины и ее свойства. Среднеквадратическое отклонение.

22. Примеры распределений случайной величины: биномиальное, Пуассона, равномерное, показательное.

23. Биномиальное распределение, его математическое ожидание и дисперсия.

24. Распределение Пуассона, его математическое ожидание и дисперсия.

25. Равномерное распределение, его математическое ожидание и дисперсия.

26. Показательное распределение, его математическое ожидание и дисперсия.

27. Нормальное распределение. Свойства функции Гаусса.

28. Функция Лапласа и ее свойства. Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал.

29. Отклонение нормальной случайной величины от ее математического ожидания. Правило «трех сигм».

30. Совместная функция распределения двух случайных величин. Независимые случайные величины. Математическое ожидание и дисперсия независимых случайных величин.

31. Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины. Свойства двумерной плотности вероятности.

32. Коррелированные случайные величины. Корреляционный момент и коэффициент корреляции.

33. Неравенство Чебышева.

34. Теорема Чебышева.

35. Центральная предельная теорема.

36. Выборочный метод и его основные понятия. Случайная выборка, объем выборки.

37. Вариационный ряд для дискретных и непрерывных случайных величин. Полигон и гистограмма.

38. Эмпирическая функция распределения и ее свойства.

39. Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок.

40. Выборочные среднее и дисперсия и их свойства.

41. Надежность и доверительный интервал.

42. Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии.

43. Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии.

44. Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения  нормального распределения.

45. Проверка статистических гипотез. Нулевая и альтернативная гипотезы, статистический критерий. Ошибки первого и второго рода.

46. Этапы проверки статистической гипотезы.

47. Критерий согласия Пирсона о виде распределения.

48. Понятие о регрессионной зависимости случайных величин. Парная и множественная регрессии.

49. Выборочные уравнения регрессии.

50. Линейная регрессия. Нахождение коэффициентов линейной регрессии методом наименьших квадратов.

51. Понятие о множественной линейной регрессии.

52. Нелинейная регрессия. Логарифмическая, обратная, степенная, и показательные модели нелинейной регрессии.

53. Понятие о цепях Маркова. Однородные цепи Маркова. Переходные вероятности. Матрица перехода.

54. Равенство Маркова. Расчет вероятностей состояния системы с использованием матрицы перехода.