Полигон и гистограмма

Для наглядности строят различные графики статистического распределения, в частности, полигон и гистограмму.

Полигоном частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки . Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси ординат – соответствующие им частоты и соединяют точки отрезками прямых.

Полигон относительных частот строится аналогично, за исключением того, что на оси ординат откладываются относительные частоты .

В случае непрерывного признака строится гистограмма, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для каждого частичного интервала – сумму частот вариант, попавших в i–й интервал.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которой служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению . Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии (высоте) . Площадь i–го прямоугольника равна – сумме частот вариант i–о интервала, поэтому площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

В случае гистограммы относительных частот по оси ординат откладываются относительные частоты , на оси абсцисс – частичные интервалы, над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на высоте . Площадь i–го прямоугольника равна относительной частоте вариант , попавших в i–й интервал. Поэтому площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, то есть единице.

Эмпирическая функция распределения и ее свойства

Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака X. Обозначим через число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее x и через n – общее число наблюдений. Очевидно, относительная частота события X<x равна и является функцией x. Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию , определяющую для каждого значения x относительную частоту события X<x. Таким образом, по определению , где – число вариант, меньших x, n – объем выборки.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки, функцию распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между этими функциями состоит в том, что теоретическая функция определяет вероятность события X<x, тогда как эмпирическая – относительную частоту этого же события.

При росте n относительная частота события X<x, т.е. стремится по вероятности к вероятности этого события. Иными словами:

.

Свойства эмпирической функции распределения

Значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0,1].

– неубывающая функция.

Если – наименьшая варианта, то =0 при , если – наибольшая варианта, то =1 при .

Эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Пример. Построим эмпирическую функцию по распределению выборки:

Варианты	2	6	10
Частоты	12	18	30

Найдем объем выборки: 12+18+30=60. Наименьшая варианта равна 2, поэтому =0 при x2. Значение x6, т.е. , наблюдалось 12 раз, следовательно, =12/60=0,2 при 2<x6. Аналогично, значения X10, т.е. и наблюдались 12+18=30 раз, поэтому =30/60 =0,5 при 6<x10. Так как x=10 – наибольшая варианта, то =1 при x>10. таким образом, искомая эмпирическая функция имеет вид: