Условное математическое ожидание

Практически важным при рассмотрении систем случайных величин является понятие условного математического ожидания.

Условное математическое ожидание дискретной случайной величины при – это сумма произведений возможных значений на их условные вероятности:

Условное математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется интегралом:

Как видно из выражений для условных математических ожиданий, их значения являются функциями от . Такую функцию называют функцией регрессии на :

.

Аналогично определяется условное математическое ожидание случайной величины и функция регрессии на :

.

Независимые случайные величины

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. Из этого определения следует, что условные распределения независимых величин равны их безусловным распределениям.

Теорема. Для того, чтобы случайные величины и были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы ( , ) была равна произведению функций распределения составляющих:

.

Следствие. Для того, чтобы случайные величины и были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения системы ( , ) была равна произведению плотностей распределения составляющих:

.

Теорема. Если и независимые случайные величины, то справедливы следующие неравенства:

Числовые характеристики системы двух случайных величин

Для описания системы двух случайных величин кроме математических ожиданий и дисперсий составляющих используют и другие характеристики, такие как корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Корреляционный момент

Характеристикой зависимости между случайными величинами и служит математическое ожидание произведения отклонений и от их центров распределений (так иногда называют математическое ожидание случайной величины), которое называется корреляционным моментом или ковариацией:

Для вычисления корреляционного момента дискретных величин используют формулу:

а для непрерывных величин – формулу:

Эту формулу можно интерпретировать так. Если при больших значениях более вероятны большие значения, а при малых значениях более вероятны малые значения , то в правой части формулы положительные слагаемые доминируют, и ковариация принимает положительные значения.

Если же более вероятны произведения , состоящие из сомножителей разного знака, то есть исходы случайного эксперимента, приводящие к большим значениям в основном приводят к малым значениям и наоборот, то ковариация принимает большие по модулю отрицательные значения.

В первом случае принято говорить о прямой связи: с ростом случайная величина имеет тенденцию к возрастанию.

Во втором случае говорят об обратной связи: с ростом случайная величина имеет тенденцию к уменьшению или падению.

Если примерно одинаковый вклад в сумму дают и положительные и отрицательные произведения , то можно сказать, что в сумме они будут “гасить” друг друга и ковариация будет близка к нулю. В этом случае не просматривается зависимость одной случайной величины от другой.

Теорема. Корреляционный момент двух независимых случайных величин и равен нулю.

Доказательство. Так как и – независимые случайные величины, то их отклонения и также независимы. Пользуясь свойствами математического ожидания (математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей) и отклонения (математическое ожидание отклонения равно нулю), получим:

.

Ковариацию можно представить в виде:

Из определения корреляционного момента следует, что он имеет размерность, равную произведению размерностей величин и . Другими словами, величина корреляционного момента зависит от единиц измерения случайных величин. По этой причине для одних и тех же двух величин величина корреляционного момента имеет различные значения в зависимости от того, в каких единицах были измерены величины. Такая особенность корреляционного момента является недостатком этой числовой характеристики, поскольку сравнение корреляционных моментов различных систем случайных величин становится затруднительным.

Для того, чтобы устранить этот недостаток, вводят новую числовую характеристику – коэффициент корреляции.