- •Тема 1. Вероятностные пространства 30
- •Тема 2. Основные вероятностные схемы испытаний 60
- •Тема 3. Случайные величины 87
- •Тема 4. Математическая статистика 140
- •Введение Место теории вероятностей и математической статистики в современной математической науке и их роль в экономических исследованиях
- •Особенности изучения теории вероятностей и математической статистики менеджером
- •Краткие сведения
- •Тема 1. Вероятностные пространства Лекция 1. Пространство случайных событий
- •Основные понятия теории вероятностей
- •Случайные события
- •Понятие случайного эксперимента
- •Пространство элементарных событий
- •Наступление события, благоприятствующие исходы
- •Совместные (совместимые), несовместные (несовместимые) события
- •Достоверное и невозможное события
- •Алгебра событий Операции над событиями (сумма, разность, произведение)
- •Свойства операций над событиями
- •Алгебра и сигма-алгебра событий
- •Общее определение вероятности
- •Классическое определение вероятности события. Случаи равновероятных исходов
- •Статистическое определение вероятности события. Случаи неравновероятных исходов
- •Геометрические вероятности
- •Аксиоматическое построение теории вероятностей
- •, Т.Е. Вероятность достоверного события равна единице;
- •Вероятность события , заключающееся в том, что наступит одно из попарно несовместных событий ( ), составляет
- •Полная группа событий
- •Условная вероятность
- •Формула умножения вероятностей
- •Формула сложения вероятностей
- •Независимость событий
- •Простейшие свойства вероятностей
- •Свойства условных вероятностей
- •Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Контрольные вопросы к теме №1
- •Тема 2. Основные вероятностные схемы испытаний Лекция 2. Основные формулы вычисления вероятностей
- •Классическая вероятностная схема
- •Правила суммы и произведения
- •Схемы выбора. Основные понятия комбинаторики
- •Выбор без возвращения, с учетом порядка
- •Выбор без возвращения, без учета порядка
- •Выбор с возвращением и с учетом порядка
- •Выбор с возвращением и без учета порядка
- •Урновая схема
- •Наивероятнейшее число наступления событий в схеме Бернулли
- •Предельные теоремы для схемы Бернулли
- •Локальная теорема Муавра–Лапласа
- •Интегральная теорема Муавра – Лапласа
- •Теорема Пуассона
- •Понятие потока событий
- •Полиномиальная схема
- •Понятие цепи Маркова
- •Однородные цепи Маркова
- •Равенство Маркова
- •Предельные вероятности
- •Контрольные вопросы к теме №2
- •Тема 3. Случайные величины Лекция 3. Одномерные случайные величины
- •Непрерывные и дискретные случайные величины
- •Закон распределения случайной величины
- •Функция распределения случайной величины и ее свойства
- •Свойства функции распределения
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства
- •Свойства математического ожидания
- •Дисперсия случайной величины и ее свойства
- •Среднеквадратическое отклонение
- •Начальные и центральные моменты
- •Основные примеры распределений дискретной случайной величины
- •Биномиальное распределение, его математическое ожидание, дисперсия
- •Распределение Пуассона
- •Геометрическое распределение
- •Непрерывные случайные величины Функция и плотность распределения вероятностей
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Основные примеры распределений непрерывной случайной величины Равномерное распределение
- •Показательное распределение
- •Нормальное распределение
- •Свойства функции Гаусса
- •Центральная предельная теорема
- •Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал
- •Функция Лапласа и ее свойства
- •Вычисление вероятности заданного отклонения. Правило «трех сигм»
- •Лекция 4. Многомерные случайные величины
- •Закон распределения вероятностей двумерной случайной величины
- •Совместная функция распределения двумерной случайной величины
- •Свойства совместной функции распределения двумерной случайной величины
- •Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины
- •Свойства двумерной плотности вероятности
- •Условное математическое ожидание
- •Независимые случайные величины
- •Числовые характеристики системы двух случайных величин
- •Корреляционный момент
- •Коэффициент корреляции
- •Свойства коэффициента корреляции
- •Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов
- •Распределение 2
- •Распределение Стьюдента
- •Распределение Фишера
- •Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева
- •Контрольные вопросы к теме №3
- •Тема 4. Математическая статистика Лекция 5. Основы математической статистики
- •Выборочный метод и его основные понятия
- •Способы отбора
- •Вариационный ряд для дискретных и непрерывных случайных величин
- •Полигон и гистограмма
- •Эмпирическая функция распределения и ее свойства
- •Свойства эмпирической функции распределения
- •Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок
- •Выборочные среднее и дисперсия
- •Надежность и доверительный интервал
- •Определение доверительных интервалов Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии
- •Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии
- •Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения
- •Проверка статистических гипотез
- •Статистический критерий
- •Критическая область. Область принятия гипотезы. Критические точки
- •Критерий согласия Пирсона о виде распределения
- •Элементы теории корреляции
- •Выборочные уравнения регрессии
- •Линейная регрессия
- •Множественная линейная регрессия
- •Нелинейная регрессия
- •Логарифмическая модель
- •Обратная модель
- •Степенная модель
- •Показательная модель
- •Цепи Маркова Цепи Маркова с дискретным временем
- •Однородные цепи Маркова
- •Переходные вероятности. Матрица перехода
- •Равенство Маркова
- •Цепи Маркова с непрерывным временем
- •Уравнения Колмогорова
- •Финальные вероятности состояний системы
- •Предельные вероятности
- •Контрольные вопросы к теме №4
- •Экзаменационные вопросы
- •Литература
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Технический редактор т.В. Жибуль
- •220007, Г. Минск, ул. Московская, 17.
Цепи Маркова с непрерывным временем
Марковский случайный процесс называется цепью Маркова с непрерывным временем, если переходы системы из состояния в состояние происходят не в фиксированные, а в случайные моменты времени.
Время наступления событий часто предсказать заранее невозможно. Например, любая деталь устройства или агрегат могут выйти из строя в любой, непредсказуемый момент времени. Описание таких, и гораздо более сложных ситуаций возможно при использовании формализма непрерывных цепей Маркова.
Пусть система характеризуется состояниями , и переход из состояния в состояние может происходить в любой момент времени. Обозначим через вероятность того, что в момент времени система будет находиться в состоянии . Требуется определить для любого момента времени вероятности состояний . При этом, очевидно, должно выполняться условие нормировки:
.
Для процесса с непрерывным временем вместо переходных вероятностей рассматриваются плотности вероятностей перехода , представляющие собой предел отношения вероятности перехода системы за время из состояния в состояние к величине :
, (1)
где – вероятность того, что система, пребывавшая в момент в состоянии , за время перейдет из него в состояние ; при этом всегда .
Если , то процесс называется однородным, если же , то – неоднородным.
При рассмотрении непрерывных марковских процессов принято считать, что переходы системы происходят под влиянием некоторых потоков событий.
Потоком событий называется последовательность событий, следующих одно за другим через какие-то случайные интервалы времени. Плотность вероятности перехода интерпретируется, как интенсивность соответствующих потоков событий. Если все эти потоки пуассоновские, то процесс, протекающий в системе, является марковским.
Марковские процессы удобно иллюстрировать с помощью графа состояний (Рис. 1), где кружками обозначены состояния системы, а стрелками – возможные ее переходы. Задержки в прежнем состоянии изображают «петлей», т.е. стрелкой, направленной из данного состояния в него же. Число состояний системы может быть как конечным, так и бесконечным.
Как правило, в графе состояний над стрелками проставляют соответствующие переходам интенсивности . Такой граф называют размеченным.
Уравнения Колмогорова
Пусть система имеет конечное число состояний и случайный процесс, протекающий в ней, характеризуется некоторыми вероятностями нахождения системы в каждом из состояний.
В случае марковской системы с непрерывным временем и конечным числом состояний их вероятности могут быть найдены с помощью решения системы дифференциальных уравнений Колмогорова:
, (2)
где .
Величина называется потоком вероятности перехода из состояния в состояние .
Уравнения Колмогорова составляют по размеченному графу состояний системы, пользуясь следующим правилом: производная вероятности каждого состояния равна сумме всех потоков вероятности, идущих из других состояний в данное состояние, минус сумма всех потоков вероятности, идущих из данного состояния в другие.
Решение системы уравнений Колмогорова необходимо задать начальное распределение вероятностей . Как правило, за исключением особенно простых систем, решение возможно получить лишь численными методами.