Полиномиальная схема

Схему независимых испытаний Бернулли еще называют биномиальной схемой, поскольку она рассматривает последовательности испытаний с двумя исходами. От нее можно перейти к более общей полиномиальной схеме последовательных независимых испытаний, в каждом из которых возможны исходов с вероятностями , , . В этом случае пространство элементарных исходов содержит таких событий. Вероятность того, что из испытаний закончатся первым исходом, – вторым исходом, …, – -ым исходом равна:

.

Схема с зависимыми испытаниями. Цепи Маркова

На практике часто приходится рассматривать проблемы, которые не сводятся к схеме независимых испытаний. Существует большой круг задач, в которых последовательно проводимые испытания не являются независимыми, а, наоборот, связаны между собой в определенного рода цепь. Один из вариантов такой цепи получил название цепи Маркова.

Понятие цепи Маркова

Цепью Маркова называют последовательность испытаний, в каждом из которых появляется только одно из полной группы попарно несовместных событий , причем условная вероятность того, что в -м испытании наступило событие , ( ) при условии, что в -м испытании наступило событие , ( ), не зависит от результатов предшествующих испытаний.

Независимые испытания являются частным случаем цепи Маркова, таким образом, понятие цепи Маркова является обобщением понятия независимых испытаний. Для описания цепей Маркова целесообразно ввести некоторые новые понятия. Пусть исследуемая система в каждый момент времени находится в одном из состояний. В отдельные моменты времени в результате испытаний состояния системы изменяются, т.е. система переходит из состояния в состояние . В частности, после испытания система может остаться и в прежнем состоянии (случай ).

Таким образом, события называют состояниями системы, а испытания – изменениями ее состояний.

Цепью Маркова называется последовательность испытаний, в каждом из которых система принимает только одно из состояний полной группы, причем условная вероятность того, что в -м испытании система будет находиться в состоянии ( ) при условии, что после -го испытания она находилась в состоянии ( ), не зависит от результатов остальных, ранее произведенных испытаний.

Цепью Маркова с дискретным временем называют цепь, изменение состояний которой происходит в определенные фиксированные моменты времени.

Цепью Маркова с непрерывным временем называют цепь, изменение состояний которой происходит в любые случайные возможные моменты времени.

Однородные цепи Маркова

Однородной называют цепь Маркова, в которой условная вероятность перехода из состояния в состояние не зависит от номера испытания . Поэтому, вместо обычно применяют обозначение .

Условную вероятность того, что из состояния (в котором система оказалась в результате некоторого испытания безразлично какого номера) в итоге следующего испытания система перейдет в состояние переходной вероятностью. В обозначении первый индекс указывает номер предшествующего, а второй – номер последующего состояния.

Матрицей перехода системы, имеющей конечное число состояний , называют матрицу, которая содержит все переходные вероятности этой системы:

Так как в каждой строке матрицы помещены вероятности событий (перехода из одного и того же состояния в любое возможное состояние ), которые образуют полную группу событий, то сумма вероятностей этих событий равна единице. Сумма переходных вероятностей каждой строки матрицы перехода равна единице:

, ( ).