- •Тема 1. Вероятностные пространства 30
- •Тема 2. Основные вероятностные схемы испытаний 60
- •Тема 3. Случайные величины 87
- •Тема 4. Математическая статистика 140
- •Введение Место теории вероятностей и математической статистики в современной математической науке и их роль в экономических исследованиях
- •Особенности изучения теории вероятностей и математической статистики менеджером
- •Краткие сведения
- •Тема 1. Вероятностные пространства Лекция 1. Пространство случайных событий
- •Основные понятия теории вероятностей
- •Случайные события
- •Понятие случайного эксперимента
- •Пространство элементарных событий
- •Наступление события, благоприятствующие исходы
- •Совместные (совместимые), несовместные (несовместимые) события
- •Достоверное и невозможное события
- •Алгебра событий Операции над событиями (сумма, разность, произведение)
- •Свойства операций над событиями
- •Алгебра и сигма-алгебра событий
- •Общее определение вероятности
- •Классическое определение вероятности события. Случаи равновероятных исходов
- •Статистическое определение вероятности события. Случаи неравновероятных исходов
- •Геометрические вероятности
- •Аксиоматическое построение теории вероятностей
- •, Т.Е. Вероятность достоверного события равна единице;
- •Вероятность события , заключающееся в том, что наступит одно из попарно несовместных событий ( ), составляет
- •Полная группа событий
- •Условная вероятность
- •Формула умножения вероятностей
- •Формула сложения вероятностей
- •Независимость событий
- •Простейшие свойства вероятностей
- •Свойства условных вероятностей
- •Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Контрольные вопросы к теме №1
- •Тема 2. Основные вероятностные схемы испытаний Лекция 2. Основные формулы вычисления вероятностей
- •Классическая вероятностная схема
- •Правила суммы и произведения
- •Схемы выбора. Основные понятия комбинаторики
- •Выбор без возвращения, с учетом порядка
- •Выбор без возвращения, без учета порядка
- •Выбор с возвращением и с учетом порядка
- •Выбор с возвращением и без учета порядка
- •Урновая схема
- •Наивероятнейшее число наступления событий в схеме Бернулли
- •Предельные теоремы для схемы Бернулли
- •Локальная теорема Муавра–Лапласа
- •Интегральная теорема Муавра – Лапласа
- •Теорема Пуассона
- •Понятие потока событий
- •Полиномиальная схема
- •Понятие цепи Маркова
- •Однородные цепи Маркова
- •Равенство Маркова
- •Предельные вероятности
- •Контрольные вопросы к теме №2
- •Тема 3. Случайные величины Лекция 3. Одномерные случайные величины
- •Непрерывные и дискретные случайные величины
- •Закон распределения случайной величины
- •Функция распределения случайной величины и ее свойства
- •Свойства функции распределения
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства
- •Свойства математического ожидания
- •Дисперсия случайной величины и ее свойства
- •Среднеквадратическое отклонение
- •Начальные и центральные моменты
- •Основные примеры распределений дискретной случайной величины
- •Биномиальное распределение, его математическое ожидание, дисперсия
- •Распределение Пуассона
- •Геометрическое распределение
- •Непрерывные случайные величины Функция и плотность распределения вероятностей
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Основные примеры распределений непрерывной случайной величины Равномерное распределение
- •Показательное распределение
- •Нормальное распределение
- •Свойства функции Гаусса
- •Центральная предельная теорема
- •Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал
- •Функция Лапласа и ее свойства
- •Вычисление вероятности заданного отклонения. Правило «трех сигм»
- •Лекция 4. Многомерные случайные величины
- •Закон распределения вероятностей двумерной случайной величины
- •Совместная функция распределения двумерной случайной величины
- •Свойства совместной функции распределения двумерной случайной величины
- •Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины
- •Свойства двумерной плотности вероятности
- •Условное математическое ожидание
- •Независимые случайные величины
- •Числовые характеристики системы двух случайных величин
- •Корреляционный момент
- •Коэффициент корреляции
- •Свойства коэффициента корреляции
- •Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов
- •Распределение 2
- •Распределение Стьюдента
- •Распределение Фишера
- •Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева
- •Контрольные вопросы к теме №3
- •Тема 4. Математическая статистика Лекция 5. Основы математической статистики
- •Выборочный метод и его основные понятия
- •Способы отбора
- •Вариационный ряд для дискретных и непрерывных случайных величин
- •Полигон и гистограмма
- •Эмпирическая функция распределения и ее свойства
- •Свойства эмпирической функции распределения
- •Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок
- •Выборочные среднее и дисперсия
- •Надежность и доверительный интервал
- •Определение доверительных интервалов Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии
- •Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии
- •Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения
- •Проверка статистических гипотез
- •Статистический критерий
- •Критическая область. Область принятия гипотезы. Критические точки
- •Критерий согласия Пирсона о виде распределения
- •Элементы теории корреляции
- •Выборочные уравнения регрессии
- •Линейная регрессия
- •Множественная линейная регрессия
- •Нелинейная регрессия
- •Логарифмическая модель
- •Обратная модель
- •Степенная модель
- •Показательная модель
- •Цепи Маркова Цепи Маркова с дискретным временем
- •Однородные цепи Маркова
- •Переходные вероятности. Матрица перехода
- •Равенство Маркова
- •Цепи Маркова с непрерывным временем
- •Уравнения Колмогорова
- •Финальные вероятности состояний системы
- •Предельные вероятности
- •Контрольные вопросы к теме №4
- •Экзаменационные вопросы
- •Литература
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Технический редактор т.В. Жибуль
- •220007, Г. Минск, ул. Московская, 17.
Распределение Пуассона
Рассмотрим второй случай асимптотического приближения биномиального распределения, когда , а – имеет конечное значение. Случайная величина называется распределенной по закону Пуассона с параметром , если эта случайная величина может принимать значения , соответствующая вероятность которых определяется по формуле Пуассона, когда :
.
В биномиальном распределении величина имеет смысл математического ожидания. Проведем вычисления математического ожидания для распределения Пуассона:
.
Таким образом, в распределении Пуассона величина также имеет смысл математического ожидания.
Проведем вычисления дисперсии для распределения Пуассона:
,
поскольку
,
Таким образом, в распределении Пуассона дисперсия также равна .
Геометрическое распределение
Рассмотрим серию независимых испытаний, в ходе которых появлялось событие с вероятностью , одинаковой для всех испытаний. Испытания в каждой серии проводились до появления события и заканчивались, как только событие происходило. Обозначим через число испытаний, которые нужно провести до появления «успеха». Очевидно, что возможными значениями дискретной случайной величины являются натуральные числа . Пусть событие наступило после безуспешных испытаний, т.е. . Вероятность этого события по теореме умножения вероятностей равна .
Полученный закон распределения дискретной случайной величины называют геометрическим, поскольку – формула расчета -го члена геометрической прогрессии, с первым членом и знаменателем ( ). Несложно убедиться в том, что выполняется условие нормировки:
Случайная величина называется распределенной по закону геометрической прогрессии с параметром , если может принимать значения , соответствующая вероятность которых определяется по формуле: , где .
Найдем математическое ожидание случайной величины, распределенной по геометрическому закону с параметром :
Примерно так же находится и дисперсия .
Непрерывные случайные величины Функция и плотность распределения вероятностей
Непрерывная случайная величина в отличие от дискретной не может характеризоваться вероятностью ее конкретного значения, так как таких значений бесконечное множество.
Для характеристики непрерывной случайной величины используется функция распределения вероятностей, которая, так же как и для дискретной случайной величины, представляет собой вероятность события :
Однако, в отличие от дискретной случайной величины в данном случае пробегает все непрерывное множество значений, а сама функция возрастает монотонно.
В некоторых случаях на значения случайной величины могут быть наложены ограничения. Например, если случайная величина представляет собой время выполнения некоторой операции , то с учетом неравенства функция распределения вероятностей будет располагаться лишь в правой полуплоскости.
Если вероятность события равна , а вероятность события равна , то вероятность того, что случайная величина заключена между и равна разности соответствующих значений функции распределения:
.
Кроме функции распределения для непрерывных случайных величин вводится понятие плотности распределения вероятностей, или плотности вероятности.
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называется производная от ее функции распределения вероятностей:
.
Значит, можно найти функцию распределения вероятностей, интегрируя плотность вероятности в общем случае от до рассматриваемого значения , т.е.
.
Аналитические выражения для функций распределения вероятностей или плотности вероятности носят название законов распределения.
Для любого значения на основании функции распределения можно определит вероятность события .
В некоторых случаях по заданной вероятности требуется найти такие значения , для которых выполняется равенство . Значение , для которого это равенство выполняется, называют квантилью, отвечающей заданному уровню вероятности.