Выбор без возвращения, с учетом порядка
Размещениями
из
элементов по
(
)
называют их соединения, каждое из которых
содержит ровно
различных элементов (выбранных из данных
элементов), и которые отличаются либо
сами элементами, либо порядком элементов.
Теорема.
Общее количество выборок в схеме
выбора
элементов из
без возвращения и с учетом порядка
называется числом размещений
из
элементов по
и определяется формулой
.
Чтобы
определить число размещений
из
элементов
по
,
будем строить произвольное соединение
последовательно. Сначала определим его
первый элемент
.
Очевидно, что из данной совокупности
элементов его можно выбрать
различными способами. После выбора
первого элемента
,
для второго элемента
остается
способов выбора и т.д. Так как каждый
такой выбор дает новое размещение, то
все эти выборы можно свободно комбинировать
между собой. Для
элементов формула приобретает вид:
Соединения
из
элементов, каждое из которых содержит
все
элементов, и которые отличаются лишь
порядком элементов, называются
перестановками
.
Перестановки являются частным случаем размещений. Так как каждая перестановка содержит все элементов множества, то различные перестановки отличаются друг от друга только порядком элементов.
Общее
количество выборок в схеме выбора
элементов из
без возвращения и с учетом порядка
называется числом перестановок
и определяется по формуле
Выбор без возвращения, без учета порядка
Сочетаниями
из
элементов по
(
)
называют такие их соединения, каждое
из которых содержит ровно
данных элементов, и которые отличаются
хотя бы одним элементом.
Теорема. Общее количество выборок в схеме выбора элементов из без возвращения и без учета порядка называется числом сочетаний из элементов по и определяется формулой:
.
Рассмотрим все допустимые сочетания элементов .
Делая
в каждом из них
возможных перестановок их элементов,
очевидно, получим все размещения из
элементов по
:
.
Числа еще называются биномиальными коэффициентами, т.к. они являются коэффициентами в формуле бинома Ньютона:
.
Свойства числа сочетаний :
Свойства
1 и 2 очевидно следуют из определения
,
свойства 3 и 4 доказываются с помощью
бинома Ньютона, полагая для свойства 3
что
и
,
а для свойства 4 что
и
.
Свойство 5 можно проверить следующим
образом:
Это свойство позволяет последовательно вычислять биномиальные коэффициенты с помощью так называемого треугольника Паскаля:
|
|
Здесь каждое число, кроме крайних единиц, является суммой двух вышерасположенных.
Выбор с возвращением и с учетом порядка
Теорема.
Общее
количество выборок в схеме выбора
элементов из
с возвращением и с учетом порядка
определяется формулой
.
Действительно, первый элемент из совокупности элементов можно выбрать различными способами. После выбора первого элемента , второй элемент можно выбрать также способами, и так раз.
Выбор с возвращением и без учета порядка
Теорема. Общее количество выборок в схеме выбора элементов из с возвращением и без учета порядка определяется формулой
Рассмотрим подробно, чем отличаются друг от друга два разных результата такой схемы выбора.
Нам не
важен порядок номеров, то есть мы
учитываем только, сколько раз в нашем
наборе из
элементов появился элемент
,
элемент
,
..., элемент
.
То есть результат выбора можно представить
набором чисел
в котором
– число появлений элемента
в выборке, и
.
Числа
принимают значения 0, 1, 2, 3, … . Два
результата эксперимента различны, если
соответствующие им наборы
не
совпадают (при этом учитывается и порядок
элементов).