Формула сложения вероятностей

Теорема: Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

.

Доказательство: Докажем эту теорему для случая суммы двух несовместных событий и .

Пусть событию благоприятствуют элементарных исходов, а событию – соответственно исходов. Так как события и по условию теоремы несовместны, то событию + благоприятствуют + элементарных исходов из общего числа исходов. Следовательно:

,

где – вероятность события ;

– вероятность события .

Теорема: Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

.

Доказательство: Событие наступит, если наступит одно из несовместных событий , , . По теореме сложения вероятностей несовместных событий:

.

Событие произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: , . Вновь применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получаем: . Следовательно, .

Аналогично для события получаем . Откуда .

Следовательно .

Независимость событий

Если при наступлении события вероятность события не меняется, то события и называются независимыми.

Теорема: Вероятность совместного появления двух независимых событий и (произведения и ) равна произведению вероятностей этих событий.

Доказательство: События и независимы, следовательно . В этом случае формула произведения событий и можно записать как .

События называются попарно независимыми, если независимы любые два из них.

События называются независимыми в совокупности, если каждое из этих событий и событие равное произведению любого числа остальных событий, независимы.

Теорема: Вероятность произведения конечного числа независимых в совокупности событий равна произведению вероятностей этих событий.

.

Простейшие свойства вероятностей

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

Свойства условных вероятностей

1. ;

2. ;

3. ;

4. если , то ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

Формула полной вероятности. Формула Байеса

Предположим, что событие может произойти только с одним из несовместных событий . Например, в магазин поступает одна и та же продукция от трех предприятий и в разном количестве. Вероятность выпуска некачественной продукции на этих предприятиях различна. Случайным образом отбирается одно из изделий. Требуется определить вероятность того, что это изделие некачественное (событие ). Здесь события – это выбор изделия из продукции соответствующего предприятия.

В этом случае вероятность события можно рассматривать как сумму произведений событий .

По теореме сложения вероятностей несовместных событий получаем . Используя теорему умножения вероятностей, находим:

.

Полученная формула называется формулой полной вероятности.

Пусть событие происходит одновременно с одним из несовместных событий , вероятности которых ( ) известны до опыта (вероятности априори). Производится опыт, в результате которого зарегистрировано появление события , причем известно, что это событие имело определенные условные вероятности ( ). Требуется найти вероятности событий , если известно, что событие произошло (вероятности апостериори).

Например, очевидно, следует отбросить гипотезы, отрицающие появление события . Вообще, проблема состоит в том, что, имея новую информацию, нужно переоценить вероятности событий .

На основании теоремы о вероятности произведения двух событий:

,

откуда:

или

.

Полученная формула носит название формулы Байеса.