- •Тема 1. Вероятностные пространства 30
- •Тема 2. Основные вероятностные схемы испытаний 60
- •Тема 3. Случайные величины 87
- •Тема 4. Математическая статистика 140
- •Введение Место теории вероятностей и математической статистики в современной математической науке и их роль в экономических исследованиях
- •Особенности изучения теории вероятностей и математической статистики менеджером
- •Краткие сведения
- •Тема 1. Вероятностные пространства Лекция 1. Пространство случайных событий
- •Основные понятия теории вероятностей
- •Случайные события
- •Понятие случайного эксперимента
- •Пространство элементарных событий
- •Наступление события, благоприятствующие исходы
- •Совместные (совместимые), несовместные (несовместимые) события
- •Достоверное и невозможное события
- •Алгебра событий Операции над событиями (сумма, разность, произведение)
- •Свойства операций над событиями
- •Алгебра и сигма-алгебра событий
- •Общее определение вероятности
- •Классическое определение вероятности события. Случаи равновероятных исходов
- •Статистическое определение вероятности события. Случаи неравновероятных исходов
- •Геометрические вероятности
- •Аксиоматическое построение теории вероятностей
- •, Т.Е. Вероятность достоверного события равна единице;
- •Вероятность события , заключающееся в том, что наступит одно из попарно несовместных событий ( ), составляет
- •Полная группа событий
- •Условная вероятность
- •Формула умножения вероятностей
- •Формула сложения вероятностей
- •Независимость событий
- •Простейшие свойства вероятностей
- •Свойства условных вероятностей
- •Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Контрольные вопросы к теме №1
- •Тема 2. Основные вероятностные схемы испытаний Лекция 2. Основные формулы вычисления вероятностей
- •Классическая вероятностная схема
- •Правила суммы и произведения
- •Схемы выбора. Основные понятия комбинаторики
- •Выбор без возвращения, с учетом порядка
- •Выбор без возвращения, без учета порядка
- •Выбор с возвращением и с учетом порядка
- •Выбор с возвращением и без учета порядка
- •Урновая схема
- •Наивероятнейшее число наступления событий в схеме Бернулли
- •Предельные теоремы для схемы Бернулли
- •Локальная теорема Муавра–Лапласа
- •Интегральная теорема Муавра – Лапласа
- •Теорема Пуассона
- •Понятие потока событий
- •Полиномиальная схема
- •Понятие цепи Маркова
- •Однородные цепи Маркова
- •Равенство Маркова
- •Предельные вероятности
- •Контрольные вопросы к теме №2
- •Тема 3. Случайные величины Лекция 3. Одномерные случайные величины
- •Непрерывные и дискретные случайные величины
- •Закон распределения случайной величины
- •Функция распределения случайной величины и ее свойства
- •Свойства функции распределения
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства
- •Свойства математического ожидания
- •Дисперсия случайной величины и ее свойства
- •Среднеквадратическое отклонение
- •Начальные и центральные моменты
- •Основные примеры распределений дискретной случайной величины
- •Биномиальное распределение, его математическое ожидание, дисперсия
- •Распределение Пуассона
- •Геометрическое распределение
- •Непрерывные случайные величины Функция и плотность распределения вероятностей
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Основные примеры распределений непрерывной случайной величины Равномерное распределение
- •Показательное распределение
- •Нормальное распределение
- •Свойства функции Гаусса
- •Центральная предельная теорема
- •Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал
- •Функция Лапласа и ее свойства
- •Вычисление вероятности заданного отклонения. Правило «трех сигм»
- •Лекция 4. Многомерные случайные величины
- •Закон распределения вероятностей двумерной случайной величины
- •Совместная функция распределения двумерной случайной величины
- •Свойства совместной функции распределения двумерной случайной величины
- •Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины
- •Свойства двумерной плотности вероятности
- •Условное математическое ожидание
- •Независимые случайные величины
- •Числовые характеристики системы двух случайных величин
- •Корреляционный момент
- •Коэффициент корреляции
- •Свойства коэффициента корреляции
- •Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов
- •Распределение 2
- •Распределение Стьюдента
- •Распределение Фишера
- •Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева
- •Контрольные вопросы к теме №3
- •Тема 4. Математическая статистика Лекция 5. Основы математической статистики
- •Выборочный метод и его основные понятия
- •Способы отбора
- •Вариационный ряд для дискретных и непрерывных случайных величин
- •Полигон и гистограмма
- •Эмпирическая функция распределения и ее свойства
- •Свойства эмпирической функции распределения
- •Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок
- •Выборочные среднее и дисперсия
- •Надежность и доверительный интервал
- •Определение доверительных интервалов Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии
- •Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии
- •Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения
- •Проверка статистических гипотез
- •Статистический критерий
- •Критическая область. Область принятия гипотезы. Критические точки
- •Критерий согласия Пирсона о виде распределения
- •Элементы теории корреляции
- •Выборочные уравнения регрессии
- •Линейная регрессия
- •Множественная линейная регрессия
- •Нелинейная регрессия
- •Логарифмическая модель
- •Обратная модель
- •Степенная модель
- •Показательная модель
- •Цепи Маркова Цепи Маркова с дискретным временем
- •Однородные цепи Маркова
- •Переходные вероятности. Матрица перехода
- •Равенство Маркова
- •Цепи Маркова с непрерывным временем
- •Уравнения Колмогорова
- •Финальные вероятности состояний системы
- •Предельные вероятности
- •Контрольные вопросы к теме №4
- •Экзаменационные вопросы
- •Литература
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Технический редактор т.В. Жибуль
- •220007, Г. Минск, ул. Московская, 17.
Равенство Маркова
Обозначим через вероятность того, что через шагов (после испытаний) система перейдет из состояния в состояние . Очевидно, что при получим переходные вероятности . По известным переходным вероятностям нужно найти вероятность перехода системы из состояния в состояние через шагов. Для этого введем в рассмотрение промежуточное (между и ) состояние , т.е. будем считать, что из первоначального состояния за шагов система переходит в состояние , с вероятностью , после чего за оставшиеся шагов из промежуточного состояния она перейдет в конечное состояние с вероятностью . По формуле полной вероятности:
.
Полученное выражение называется равенством Маркова.
Если в равенстве Маркова предположить, что , а , то получим:
.
Таким образом, можно найти все вероятности , а значит и матрицу . Далее предположим, что , а , тогда по аналогии с предыдущими рассуждениями, получим .
В общем случае .
Предельные вероятности
Следующей важной задачей является исследование вероятностей переходов системы при неограниченном увеличении числа .
Теорема Маркова. Пусть существует такое число шагов, при которых все вероятности строго положительны (отличны от нуля). Тогда для каждого состояния существует предельная вероятность его наступления, т.е. такое число , что независимо от исходного состояния имеет место равенство .
Смысл содержащегося в теореме утверждения интуитивно понятен: вероятность того, что система окажется в состоянии не зависит от предыстории системы и мало отличается от предельной величины . Найти эти вероятности можно следующим образом. Воспользуемся доказанным ранее равенством Маркова . Если перейти к пределу при , то получим . Если дополнить это уравнение условием нормировки , то получится система уравнений, решениями которой и будут искомые величины . Причем, несложно показать, что эта система определяет величины однозначно, т.е. полученные значения единственны.
Контрольные вопросы к теме №2
Основные соединения и формулы для их расчета.
Правила суммы и произведения.
Урновая схема.
Понятие схемы независимых испытаний Бернулли.
Наивероятнейшее число наступления событий в схеме Бернулли.
Теорема Пуассона.
Локальная теорема Муавра–Лапласа.
Интегральная теорема Муавра–Лапласа.
Тема 3. Случайные величины Лекция 3. Одномерные случайные величины
Основные понятия:
случайная величина; дискретная случайная величина; непрерывная случайная величина; закон распределения; функция распределения; математическое ожидание; дисперсия случайной величины; отклонение случайной величины; среднеквадратическое отклонение; начальный момент порядка ; центральный момент порядка ; закон распределения дискретной случайной величины; биномиальное распределение; распределение Пуассона; геометрическое распределение; функция распределения вероятностей; плотность распределения вероятностей; закон распределения; мода непрерывной случайной величины; медиана непрерывной случайной величины; равномерное распределение; показательное распределение; нормальное распределение; функция Гаусса; теорема Ляпунова; асимметрия распределения случайной величины; эксцесс распределения случайной величины; стандартный интеграл Лапласа; правило «трех сигм»; закон больших чисел; неравенство Чебышева; теорема Чебышева.