4.1. Математическая формулировка задачи конвективного теплообмена
Уравнение (4.2) показывает, что явление конвективного теплообмена определяется факторами теплового и гидромеханического происхождения. Это позволяет для анализа теплового явления рассмотреть систему дифференциальных уравнений, описывающих тепловые и гидромеханические условия протекания процесса.
На основании баланса тепловых потоков на границе ламинарного и турбулентного слоев
,
(4.3)
где - коэффициент теплопроводности жидкости;
-
плотность теплового потока, подведенного
к жидкости.
Решим уравнение (4.3) относительно :
.
(4.4)
Уравнение (4.4) называют дифференциальным уравнением теплоотдачи.
Дифференциальное уравнение теплопроводности, характеризующее распределение температур:
.
(4.5)
Введя это уравнение, мы ввели неизвестную величину W. Поэтому, надо ввести уравнение для определения W:
,
(4.6)
где
g
– ускорение свободного падения;
- коэффициент динамической вязкости.
Уравнение (4.6) – это дифференциальное уравнение Навье – Стокса для несжимаемой жидкости, описывающее поле скоростей среды и гидродинамические условия.
В этом уравнении р – неизвестное, т.е. система опять незамкнута.
Уравнение сплошности или неразрывности потока для несжимаемой жидкости:
(4.7)
Уравнения (4.4), (4.5), (4.6), (4.7) являются системой дифференциальных уравнений для конвективного теплообмена.
Полученная система уравнений дает математическое описание конвективного переноса тепла при движении жидкости. Система замкнута (число неизвестных t, W, p и уравнений равны) и, в принципе, может быть использована для аналитической оценки коэффициента теплоотдачи. Чтобы выделить конкретное решение для той или иной частной задачи, необходимо систему рассматриваемых уравнений дополнить условиями однозначности (краевыми условиями). Они единственным образом определяют особенности конкретного явления.
4.2. Краевые условия при решении задач конвективного теплообмена (условия однозначности)
Геометрические условия. Задаются форма и размеры поверхности, омываемой жидкостью (учитывается расположение в пространстве).
Физические условия. Значения теплофизических характеристик жидкости, т.е. плотность, вязкость, температуропроводность и т.д.
Граничные условия. Задается закон распределения всех величин по поверхности раздела сред.
Временные или начальные условия. Задается закон распределения всех величин в начальный момент времени.
В совокупности дифференциальные уравнения и краевые условия являются полной математической формулировкой в задачах конвективного теплообмена.
Система уравнений, дополненная условиями однозначности, как правило, не интегрируется в общем виде без существенных упрощений. Величины же, полученные после таких упрощений, в большинстве случаев значительно отличаются от результатов опыта.
Вследствие этого, изучение явлений конвективного теплообмена основывается на экспериментальных данных. Для возможности обобщения таких данных и выявления границ их применения экспериментальные исследования должны быть построены на строгих теоретических началах, которые даются теорией подобия.