К главе IV. Умозаключение как форма мышления к разделу 1. Сложные умозаключения

1.1. Переведите следующие рассуждения в логическую символику и с помощью таблиц истинности определите логическое значение полученных сложных суждений:

а) «Если идет дождь, то мостовая мокрая»; и «В данный момент идет дождь, то, наверное, мостовая мокрая»;

б) «Каждый человек либо имеет друзей, либо не имеет»;

в) «Если А, то В, и В, следовательно, А»;

г) «Либо А, либо не-А, и А, следовательно, не-А»

д) «Если он принадлежит к нашей компании, то он храбр и на

него можно положиться»; «Он не принадлежит к нашей компании. Значит, он не храбр и на него нельзя положиться».

Для определения логического значения сложного суждения с помощью таблицы истинности целесообразно использовать символическую форму его записи. Уместно будет заметить, что перевод обычного языка в логические символы не является механическим делом. При переводе прежде всего необходимо как следует понять переводимый текст. Так, суждение «Если идет дождь, то мостовая мокрая, и в данный момент идет дождь, то мостовая мокрая» в формализованном языке будет иметь вид:

((АВ)  А)В

где А обозначает суждение «Идет дождь», В - «Мостовая мокрая», - знак импликации, - знак конъюнкции. Скобки показывают, как логический союз связывает между собой части сложного суждения (формулы и какие именно части (подформулы) образуют область действия (или область данного вхождения) этого союза).

Согласно данным таблицы, анализируемое суждение является тождественно-истинным. Следовательно, логическая форма, в которой осуществляется это высказывание, является логическим законом, поскольку в выходном столбце формула принимает значение «истина» при всех значениях переменных.

А	В	АВ	((АВ)А)	((АВ)А)В
И	И	И	И	И
Л	И	И	Л	И
И	Л	Л	Л	И
Л	Л	И	Л	И

1.2. Правильно ли сделан вывод?

Переведите в логическую символику и проверьте с помощью таблиц истинности или методом от противного:

а) «Если Петр может решить эту задачу, он математик. Петр

не может ее решить, значит, он не математик»;

б) «Если человек болен, то у него повышается температура. У

этого человека нет повышенной температуры. Значит oн здоров»;

в) «Растения бывают или светолюбивыми, или влаголюбивы

ми, или теплолюбивыми. Данное растение светолюбивое,

значит, оно не является влаголюбивым и теплолюбивым»;

г) «Вода бывает пресная или соленая. Вода не пресная, значит, она соленая»;

д) «Если воду не нагреть до 100 С°, то она не будет кипеть.

Вода кипит, значит, ее нагрели до 100 С»;

е) «Если 2x2=4, то Нью-Йорк - большой город. Верно, что

2x2=4. Следовательно, верно, что Нью-Йорк - большой

город»;

ж) «Если глагол требует после себя винительного надежа, то

он переходный. Этот глагол требует после себя винительного падежа, следовательно, он переходный».

Чтобы проверить формальную правильность сделанного вывода, целесообразно перевести его на формализованный язык (в результате чего получится формула сложного суждения) и полученную формулу проверить по таблице истинности.

В формализованном языке вывод «Если Петр сможет решить эту задачу, то он математик. Петр не может решить эту задачу, значит он не математик» можно представить как формулу

((АВ)  не-А)) не В,

где А обозначает суждение «Петр может решить эту задачу»,

В - «Он - математик»,

не-А - «Петр не может ее решить»,

не-В - «Он не математик»,

знак импликации (если... то... значит... и т.д.), 

знак конъюнкции (и, а и т.п.). 

В результате построения таблицы истинности (которую мы здесь не воспроизводим) обнаруживается, что в случае, когда переменная А принимает логическое значение «ложь», а переменная В - значение «истина», вся формула принимает логическое значение «ложь».

Следовательно, формула, в которой осуществляется данный вывод, не является логически обозначенной, т.е. вывод осуществляется неправильно.

Формальную правильность формулы можно определить без построения таблицы истинности, так называемым методом «от противного». В этом случае мы для того, чтобы определить, является ли формула тождественно-истинной, допускаем обратное, т.е. то, что формула ложная, и из введенного допущения делаем выводы, исходя из таблиц истинности сложных суждений. Например, допустим, что формула

((АВ)А)В

является ложной. Поскольку главный знак формулы - импликация, следовательно, наша импликация - ложь.

((АВ)А)В,

но импликация ложна только тогда, когда основание импликации - истина, а следствие - ложь, следовательно

((АВ)А)В

И ^Л Л

Но (конъюнкция) истинна тогда, когда истинны оба конъюкта, следовательно

((АВ)А)В

И Л Л

И И

Л

И

Сейчас, подставив истинные значения А и В в конечную формулу, мы можем сопоставить следствия с таблицей истинности импликации. Согласно таблице получаем, что А В - ложь, а по нашему допущению - истина. Следовательно, наше допущение неверно, следовательно, формула ложна.