книги из ГПНТБ / Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем

Г л а в а 3

ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ

3.1. Входные сигналы

Характерной особенностью работы сложных автоматических систем является использование предельных режимов. Максимальные или минимальные значения скоростей и ускорений, температур и давле­ ний, токов и напряжений, времени работы и уровней полезных вход­ ных сигналов — таков далеко не полный перечень условий, при ко­ торых роль случайных факторов становится все более заметной и су­ щественной. Отсюда следует, что общей моделью входных сигналов, описывающих действующие возмущения, является случайная функ­ ция. В частном случае, когда роль случайных факторов становится пренебрежимо малой, входные сигналы можно рассматривать как детерминированные (неслучайные) функции.

Все многообразие входных сигналов можно разделить на полез­ ные сигналы и помехи. Полезные сигналы — это такие сигналы, пре­ образование которых является задачей автоматической системы. По­ мехи — это мешающие сигналы. Влияние помех проявляется в воз­ никновении случайных сил и моментов в механических системах и случайных токов и напряжений в электронных системах. Различают внешние и внутренние помехи. Примерами внешних помех могут служить турбулентность атмосферы, приводящая к болтанке лета­ тельного аппарата, шумы в радиоприемном устройстве, обусловлен­ ные физическими условиями распространения и отражения электро­ магнитных волн. Внутренние помехи возникают от флуктуаций но­ сителей заряда в элементах электронных схем (лампах, резисторах и т. п.), от трения в механических соединениях и на границах раз­ личных сред.

Разделение входных сигналов на полезные и помехи является условным и зависит от решаемой задачи. Например, с точки зрения общего движения летательного аппарата или пассажира влияние турбулентности атмосферы рассматривается как помеха. С точки зрения системы стабилизации летательного аппарата относительно центра массы турбулентность атмосферы рассматривается как полез­ ный сигнал, на который система стабилизации должна вырабатывать компенсирующий сигнал в виде поворота рулей. Отклонение рулей создает моменты, парирующйе моменты от турбулентности атмосферы. С точки зрения работы системы стабилизации помехами будут все­ возможные ошибки измерения фактического положения летатель­ ного аппарата.

70

Входной сигнал в общем случае представляет собой некоторую комбинацию полезного сигнала и помехи. Математически это записы­ вается в виде функциональной зависимости

	X (/) = (р (S		(О, N (0).	(3-1)
где X (0 — входной	сигнал,	ср (•) — нелинейная		функция полез­
ного сигнала S (/)	и помехи	N	(t).

Наиболее часто встречаются аддитивная, мультипликативная и смешанная комбинации сигнала и помехи. При аддитивной комби­

нации полезный сигнал и помеха складываются:
X (t)	= S (I) + N	(I).	(3.2)
Аддитивность сигналов	обусловлена	независимостью источников

полезного сигнала и помехи.

Мультипликативная комбинация означает перемножение полез-,

ного сигнала и помехи:
X (0 = S (() Z (t),	(3.3)

где Z (t) — мультипликативная помеха. Мультипликация сигналов возникает при прохождении полезного сигнала через флуктуирую­ щую среду.

Смешанная комбинация сигнала и помехи включает аддитивную и мультипликативную помехи, т. е.

X (/) = 5 (0 Z(t) + N (t).

(3.4)

Часто встречается другое представление для смешанной комби­ нации

X (/) = 5 (0 [1 + Z(l)} + N (t).	(3.5)
Кроме перечисленных возможны и другие комбинации	сигнала

и помех, но они встречаются весьма редко.	времени, имеющая
Полезный сигнал — это случайная функция
в общем случае регулярную и нерегулярную части:
5 (t, U) = ср (/, U) + 5° (/).	(3.6)

Нерегулярная часть полезного сигнала 5° (t) есть случайная функция времени с нулевым математическим ожиданием. Регулярная часть полезного сигнала ср (t, U) представляет собой нелинейную функцию известной структуры и вектора случайных параметров U. Во многих практических задачах регулярная часть полезного сигнала может быть представлена в виде линейной функции параметров

Ф(*. U ) =	t Ur4>r(t),	(3.7)
	r= 1
где cpr (/) — известные функции	времени;	Uг — случайные вели­
чины. В частном случае, когда cpr (t) = tr~l		, получаем полиноми-

нальную модель регулярной части полезного сигнала. Такого рода модели используют, например, при описании элементов движения летательных аппаратов на ограниченном интервале времени.

71

В радиоприемных устройствах регулярная часть полезного сиг­ нала представляется как модулированное колебание

Ф (/, U) = Uх sin (UJ + U3) sin U4t,

(3.8)

где и г — амплитуда; U.2— частота огибающей; U3— фаза огибаю­ щей; 0 4— частота несущей сигнала. Это случайные величины, опи­ сывающие разброс параметров полезного сигнала.

Помеха так же, как и полезный сигнал, является случайной функцией времени и может иметь математическое ожидание. Помеха в ряде случаев может содержать регулярную и нерегулярную части. Примером регулярной части помехи может служить случайное по­ стоянное смещение нуля измерителя.

3.2. Характеристики сигналов

Случайные полезные сигналы и помехи могут быть охарактери­ зованы лишь в вероятностном смысле. Детерминированные сигналы непосредственно определяются своей формой и параметрами.

Полное описание регулярной части полезного сигнала или по­ мехи дается законом распределения вероятности вектора случайных параметров. Полное описание нерегулярной части полезного сигнала или помехи осуществляется с помощью функционала распределения вероятности.

Как известно, наблюдаемые макроскопические явления, на­ пример флуктуации сил и моментов, токов и напряжений, являются следствиями многочисленных микроскопических событий. Это зна­ чит, что вероятностные характеристики макроскопических явлений можно получить, рассматривая совокупность отдельных актов взаимо­ действия частиц вещества. Достаточно общей моделью этих актов взаимодействия является наложение независимых элементарных им­ пульсов, имеющих случайные параметры (амплитуду, фазу, дли­ тельность) и возникающих в случайные равномерно распределенные моменты времени. Если число импульсов в единицу времени (интен­ сивность появления импульсов) мало и имеет порядок единицы, то закон распределения вероятности макроскопической величины, пред­ ставляющей результат действия импульсов, значительно отличается от нормального закона. Примерами таких случайных процессов являются атмосферные помехи, помехи зажигания, помехи от вспле­ сков излучения Солнца, подводные шумы от больших неоднородностей дна и среды и человеческая речь [47, 82].

Если интенсивность появления импульсов в единицу времени составляет 10—104, то закон распределения вероятности близок к нормальному. Примерами таких случайных процессов могут слу­ жить сильные ионосферные помехи, помехи от осадков (дождь, снег), шумы моря. Наконец, если интенсивность появления импульсов имеет порядок более 104, то закон распределения вероятности сум­ марного события язляется нормальным. Примерами случайных про­ цессов, относящихся к этому классу, могут служить тепловой и дро­ бовой шумы, фотонные шумы, турбулентность атмосферы, флуктуа-

72

ции радиолокационного сигнала, шумы фотоумножителя и фоторезнстора и т. п.

В дальнейшем будут рассмотрены лишь случайные процессы, законы распределения которых являются либо нормальными, либо близкими к ним. Как известно, нормальный закон распределения вероятности случайного процесса полностью характеризуется мате­ матическим ожиданием и корреляционной функцией. Поэтому в ка­ честве характеристик некоторых конкретных случайных процессов, рассматриваемых далее, принимаем математическое ожидание и кор­ реляционную функцию. Для стационарных случайных процессов кроме корреляционной функции рассматривается ее преобразование Фурье — спектральная плотность.

•Тепловой шум. Этот шум обусловлен случайными движениями электронов в кристаллической решетке вещества. Закон распределе­ ния вероятности шума является нормальным с нулевым математиче­ ским ожиданием. Спектральная плотность напряжения на концах

некоторого проводника		[9]
		Su(f) = - j r ^ ,		(3.9)
			t kT - 1
где R — сопротивление		проводника; f — частота; Т — абсолютная
температура	проводника;		1г = 6,62-10 - 31 Д ж -с— постоянная
Планка; k =	1,38-10_23	Дж-град-1 — постоянная		Больцмана.
При Т =	295° К и / <		1012 Гц отношение hf/kT	= 1,63-10"13 f,

что значительно меньше единицы. Поэтому показательную функцию в знаменателе спектральной плотности можно разложить в ряд

Тейлора и ограничиться только линейным членом	ehf/kT	1 +
+ hf/kT. Подставляя это разложение в формулу (3.9)	и выполняя
несложные преобразования, получаем формулу Найквиста
Su (/) = AkTR, f < 1012 Гц.		(3.10)

Таким образом, в полосе частот от нуля до 1012 Гц спектральная плотность теплового шума постоянна. Это означает, что в данной полосе частот тепловой шум можно рассматривать как белый и считать корреляционную функцию 6-функцией:

ku (x) = Gu8( т),

(3.11)

где G„ = 8яkTR — интенсивность теплового шума. При темпера­ туре Т = 295° К и сопротивлении R = 106 Ом интенсивность теп­ лового шума G„ = 1,27-10'13 В2-с.

Дробовой шум. Этот шум есть проявление дискретности носителей электрического заряда в электронных лампах. Поток электронов, излучаемых нагретым катодом лампы, непрерывно изменяет свою плотность за счет флуктуаций температуры катода и напряженности поля между электродами лампы. При среднем токе 20 мА и анодном напряжении 200 В интенсивность импульсов тока составляет 108, поэтому закон распределения вероятности дробового шума является нормальным. Математическое ожидание дробового шума равно нулю.

73

Для плоского диода в режиме насыщения спектральная плотность дробового шума, проявляющегося в виде флуктуаций тока, имеет вид [9, 47]

5<(/) = д |Щ г [(2я//п)2 + 2 (1 - со 8 2яДп- 2 я / / п51п2я/и], (3.12)

где е — заряд электрона; I — среднее значение тока, протекающего через диод; tn — время пролета электроном участка катод—анод; О < Г < 1 — коэффициент депрессии дробового шума. Корреля­ ционная функция дробового шума, соответствующая спектральной плотности 5 (- (/), имеет вид

	4е/Г3	A	ITl I	М 3	N < 4 ,
	3/п
ki (т) =		2 '	<п	21\	(3.13)
	О
					М > *п-

Время пролета электроном межэлектродного расстояния состав­ ляет tn ;=« 10~9 с, поэтому при /< 1 0 ° произведение 2яД, < 1. Рассматривая предел выражения (3.12) при 2я/7п, стремящемся к нулю, получаем следующую формулу спектральной плотности

дробового шума, справедливую для	106	Гц (формула Шоттки):
5,- (/) =	2е/Г2.	(3.14)

Постоянство спектральной плотности в определенном диапазоне частот позволяет трактовать дробовой шум в этом диапазоне как белый шум. Корреляционная функция, соответствующая спектраль­ ной плотности (3.14), имеет вид 6-функции с интенсивностью Gt- = = 4ле/Г2. При среднем токе 20 мА, Г = 1 интенсивность дробового шума Gi = 4,02-10'20 А2-с. На резисторе с сопротивлением 106 Ом флуктуации тока от дробового шума создадут случайные изменения напряжения с интенсивностью Gu = 4,02-10'8 В2-с. Сравнивая эту величину с интенсивностью теплового шума, можно констатировать, что дробовой шум дает значительные флуктуации.

Шум мерцания (фликкер-эффект). Шум мерцания проявляется

вэлектронных лампах в виде медленных флуктуаций тока вследствие изменения эмиссии на больших участках поверхности катода. Уро­ вень мерцания ламп с оксидным катодом значительно больше, чем

влампах с металлической нитью накаливания. Спектральная плот­ ность тока шумов мерцания по экспериментальным данным имеет

вид [10]
S,(/) = ^ .	(3-15)
где k — коэффициент пропорциональности; а «^2; р	1; I — сред­

ний ток через лампу.

Шум мерцания, как это следует из формулы (3.15), имеет большую интенсивность на низких частотах. Следует заметить, что эта фор­ мула является эмпирической и не отражает физическую сущность явлений на частотах, близких к нулю.

74

Генераторно-рекомбинационный шум. Причиной возникновения шума является флуктуация числа носителей тока в полупроводниках при явлениях генерации и рекомбинации. Этот шум аналогичен дро­ бовому шуму в лампах.

Спектральная плотность тока генераторно-рекомбинационного шума в полупроводниках, близких к чистым, имеет вид

D,а 1

(3.16)

л а2-f- со2 ’

где а = \ИЖ— величина, обратно пропорциональная среднему вре­ мени жизни носителей заряда, a DL— дисперсия, определяемая формулой

D,.=	4Jt/2 (b+ l)2np	(3.17)
	{bn+ p)2 (я + p)
В формуле (3.17) / — средний ток; Ъ		— p j p p — коэффициент

подвижности, равный отношению скоростей перемещения электронов и дырок соответственно; п — среднее число электронов; р — среднее число дырок.

Для чистых полупроводников п = р, поэтому формула для дис­

персии упрощается и принимает вид
Dt —	(3.18)
Корреляционная функция тока генераторно-рекомбинационного
шума в соответствии с формулой (3.16)
kt (т) = П(е —а |т1.	(3.19)

Среднее время жизни носителей в полупроводниках составляет tx = 10- 8 с. Поэтому для значений частот, удовлетворяющих усло­ вию 10"8 (о <§( 1, генераторно-рекомбинационный шум можно рас­ сматривать как белый шум.

Фединг. Этим термином определяют флуктуации амплитуды при­ нимаемого радиолокационного сигнала, обусловленные характером отражения электромагнитных волн от сложных поверхностей и из­ менениями плотности атмосферы. Основную роль в возникновении фединга играет первый фактор. Если отражающая поверхность имеет сложную конфигурацию и случайным образом изменяет свою ори­ ентацию в пространстве, то отраженный от нее сигнал будет иметь случайную амплитуду. Эта амплитуда есть модуль векторного сиг­ нала, представляющего собой результат наложения сигналов, от­ раженных от элементарных площадок поверхности.

Влияние фединга обычно учитывают в виде случайного измене­ ния угловой ошибки слежения радиолокатора. Спектральная плот­ ность фединга

5 Ф = "Jr [ а2+ (со — Р)а + (И + Р)3+ а» ] •

(3 ,2 °)

75-

О	4	8	12	16 fju,
Рнс.	3.1.	Спектральная		плотность	Рис. 3.2. Корреляционная функция
		фединга			фединга:

1 — эксперимент; 2 — аппроксимация

где Стф— среднее квадратическое отклонение; а, р — числовые пара­ метры.

Спектральная плотность имеет максимумы на частотах со0 = = ±Р, равные по величине

Оа2 + 2р2

(3.21)

а 2+ 4|3-

График спектральной плотности приведен на рис. 3.1. Корреляционная функция фединга, соответствующая спектраль­

ной плотности (3.20), имеет вид (рис. 3.2)

	*ф(т) = а |е _ “ |T |cospt.	(3.22)
Значения	параметров равны оф = 0,0625 рад;	а = 24 с -1;
р = 40 с - 1	[20].

Блуждание центра отражения (угловое мерцание цели). Этим термином определяют флуктуации принимаемого радиолокационного сигнала, обусловленные сложением фаз сигналов, отраженных от элементарных площадок поверхности. Данное явление приводит к угловым ошибкам определения мгновенного центра отражения. Блуждение центра отражения происходит в пределах ограниченной области, связанной с отражающей поверхностью. Вследствие этого угловые колебания отраженного сигнала существенно зависят от дальности. Обычно блуждание центра отражения выражают в виде стационарной случайной функции, поделенной на дальность D (t) до отражающей поверхности:

Х{1) =	хб(0	■	(3.23)
	D(t)

76

Случайная функция Х 6 (i) имеет спектральную плотность, ко­ торая, как следует из экспериментальных данных, хорошо аппрокси­ мируется формулой [16, 17]

	2
Sa(ta)= -	, яа!°	---- г ,	(3.24)
'	а + (5ш- + усу1		v	'
где а2 — дисперсия блуждания	центра	отражения.

Значения параметров в этой формуле соответственно равны:

а = 9,67; а = 483,1 с -1; (3 = 0,456; у = 0,001 с3. Среднее квадра­ тическое отклонение зависит от наибольшего размера L облучаемой радиолокатором цели и вычисляется по формуле

аб = 0,21 L,

(3.25)

где L измеряется в метрах.

Турбулентность атмосферы. Атмосфера всегда находится в непре­ рывном случайном движении относительно Земли. Это движение проявляется в виде ветра. Скорость ветра VK является случайной функцией времени и координат точки пространства R : W —

=W (R, 0-

Скорость ветра представляют в виде суммы двух составляющих:

постоянной и переменной. Составляющую скорости ветра считают постоянной, если за время движения летательного аппарата она мало изменяется по направлению и по величине. Модуль постоянной со­ ставляющей скорости ветра обычно рассматривают как случайную величину. Экспериментальные данные показывают, что эта величина имеет закон распределения вероятности Рэлея. Плотность вероят­ ности постоянной составляющей скорости ветра

_
f(W) — -^s-e 2аЕ .	(3.26)

В этой формуле среднее квадратическое отклонение постоянной составляющей скорости ветра зависит от высоты над земной поверх­ ностью. В приземном слое атмосферы среднее квадратическое откло­ нение выражается следующей зависимостью от высоты [22]:

<327>

где mWQ— математическое ожидание скорости ветра на некоторой

опорной высоте Я 0; Я — текущая высота; п — показатель степени! величину которого рекомендуется выбирать в пределах 0,15—0,20- При опорной высоте Я„ = 10 м рекомендуется принимать mu,Q=

= 3 -г-4 м -с-1.

Переменная составляющая скорости ветра W° (/?, i) характери­ зует турбулентное движение атмосферы, выражающееся в хаотиче­ ском случайном перемещении частиц воздуха. По масштабу разли­ чают три интервала турбулентного движения: крупномасштабный, инерционный и вязкий. Крупномасштабная турбулентность обуслов­ лена нарушением равновесного состояния атмосферы за счет нерав-

77

номерного нагревания Солнцем. Это движение носит асимметричный характер вследствие влияния поверхности Земли и ее вращения.

В инерционном диапазоне масштабов турбулентного движения происходит передача энергии от крупномасштабного движения сравнительно небольшим массам воздуха. При этом турбулентность носит изотропный характер. Предельные величины вихрей в этом диапазоне имеют порядок нескольких сотен метров.

В вязком диапазоне турбулентность также носит изотропный характер и охватывает наиболее высокие частоты движения воздуха. Размеры вихрей в этом диапазоне составляют несколько сантиметров.

При статистическом описании турбулентности обычно прини­ маются гипотезы о неизменности поля скоростей по отношению к ле­ тательному аппарату (гипотеза «замороженностн» Тейлора), а также об однородности и изотропности в вероятностном смысле поля скоро­ стей. В соответствии с первой гипотезой считается, что вследствие большой скорости, летательного аппарата время пролета этим аппа­ ратом интервала корреляции турбулентного движения очень мало. Поэтому за это время мгновенное значение поля скоростей практи­ чески не изменяется: оно остается как бы застывшим, замороженным. На основании этой гипотезы вероятностные характеристики турбу­ лентности, полученные как функции координат для одного момента времени, можно использовать для любого момента времени.

Вторая гипотеза об однородности и изотропности позволяет огра­ ничиться при статистическом описании лишь одной корреляционной функцией проекции вектора скорости ветра на направление, со­ единяющее две точки пространства: kr (г), где г — расстояние между двумя точками пространства. Вследствие условия изотропности и однородности эта корреляционная функция зависит лишь от модуля расстояния между двумя точками. Корреляционная функция про­ екций вектора скорости ветра на нормаль к направлению между двумя точками kn (г) связана с корреляционной функцией kr (г) соотно­ шением, полученным в общей теории турбулентности [8]:

Ш = кг{г) + ± - г ^ . (3.28)

Аналитические выражения для кор­ реляционных функций, полученные ап­ проксимацией экспериментальных кри­

вых, имеют следующий вид (рис.			3.3):
		_ l£i
kr(r) — a2we		r ;
bn(r) = <&( l - ^		I r I
	j	j e ^ ,	(3.29)
Рис. 3.3. Корреляционная	функция турбулентности.

78

где <т^— дисперсия переменной составляющей скорости ветра;

L , L,j — продольный и поперечный масштабы турбулентности соот­ ветственно.

Масштабы турбулентности характеризуют длины интервалов, иа которых сохраняются корреляционные связи случайного процесса. Эти масштабы определяются как интегралы от нормированных кор­ реляционных функций:

со	оо	(3.30)
Lr = ~ \ k r{r)dr, L	: — /г„(/-) dr.
	о
Между масштабами турбулентности	имеется соотношение	Lr =

= 2Ln. Нетрудно проверить, что соотношение (3.28) для приведен­ ных формул корреляционных функций выполняется.

Для перехода от корреляционных функций, зависящих от коор­ динат, к корреляционным функциям, зависящим от времени, следует воспользоваться соотношением, вытекающим из гипотезы заморо­

женное™ поля скоростей
		г = vт,			(3.31)
где	v — скорость полета летательного		аппарата. Подставляя это
выражение		в формулы (3.29), получаем
		M O = c £ e -“ |T!;		Т|
			и I
		kn(x) = ol(l —а |т |) е	2	,	(3.32)
где	введено	обозначение
		а = v/Lr = v/2Ln.			(3.33)
	Корреляционным функциям (3.29) соответствуют				спектральные

плотности, аргументом которых является пространственная ча­ стота й:

	Sr (Q) = ^	1
		1~j~(QL/-)2 >
		(3.34)
	Sn(й) —	l+3(QLn) 2
		[L + (QL„)2]2

Графики спектральных плотностей приведены на рис. 3.4 и 3.5. Корреляционным функциям (3.32) соответствуют_спектральные

плотности временной угловой частоты со = ай:

2сг.а		2о2а	а2 +	Зсо-	(3.35)
5 Дсо) =	а2 -f- со2	SnИ = п	(а2	со2)2

Рассмотренные экспериментальные корреляционные функции и спектральные плотности достаточно хорошо описывают характери­ стики турбулентности в инерционном интервале и значительно хуже

79