книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы

20

Глава 1

закону. Такую плоскую волну можно представить в виде

g— A cos ^ соt — п • г j .

Частота колебаний

где со — так называемая круговая частота. Иногда будем называть со просто частотой, подразумевая при этом, что она является умноженной на 2я истинной частотой коле­ баний. Удобно ввести вектор

k =	-£-n		(1.3.11)
п записать
g = A cos	(cof —	k - r) .	(1.3.12)

Назовем к волновым вектором. Если допустить, что г получает приращение

Лг = А,п,

то из требования, чтобы функция (1.3.12) совершила полпый цпкл своего изменения при изменении г до величины г -г А г, найдем соотношение

кХ	2п,
плп
	=	(1.3.13)
где	= | к |	(1.3.14)
к

есть модуль волнового вектора. Правая часть уравнения

(1.3.13) следует из (1.3.11) и (1.3.7).

Большое физическое значение волн вида (1.3.12) обу­ словлено тем фактом, что в большинстве сред, за исклю­ чением вакуума, v ие является константой, а зависит от частоты:

v = п (со).

Синусоидальные волны разных частот распространяются с разными фазовыми скоростями. Это явление называется дисперсией. Выражение общего вида (1.3.8) для плоской

Волновая оптика

21

волны произвольной формы справедливо поэтому только в вакууме. В другой среде это выражение можно исполь­ зовать лишь как разумное приближение, если дисперсия не слишком явно выражена. Легко можно предсказать путь, по которому распространяется общее возмущение в диспергирующей среде. Допустим, что на некоторой плоскости существует возмущение вида / (t). Для того чтобы определить, как это возмущение будет распростра­ няться в диспергирующей среде, нужно представить произвольную функцию / в виде суперпозиции синусо­ идальных колебаний. Это осуществляется с помощью интегральпого преобразования Фурье функции / (t). Каж­ дое гармоническое колебание, согласно (1.3.12), распро­ страняется через диспергирующую среду как плоская волна (поскольку с самого начала возмущение предполагалось плоским). Располагая систему координат ради удобства таким образом, чтобы волна распространялась в направ­ лении оси z, мы выразим форму плоской волны общего вида, имеющей вид / (t) при z = 0, с помощью интеграла Фурье

оо

/(z, t)=-^- j /г (со) cos (coif— 7cz—)—0 (со)) cfco. (1.3.15)

о

Вводя комплексную функцию
ср(со)= /г(со)Л0<“>	(1.3.16)

и распространяя определение фазы и амплитуды на отри­ цательные частоты как

0 ( -со) =	- 0 (со)	(1.3.17)
и
/г. (—со) =	/г (со)	(1.3.18)

(к также изменяет знак), можно переписать выражение

(1.3.15) в виде	комплексного интеграла Фурье
		оо
/(z,	—	[ ср (со) ei(cM-fcz) йсо.	(1.3.19)

-’-ТО

22 Глава 1

Амплитудная	функция ср (со) определяется через извест­
ную форму волиы при 2 = 0:
	СО
	<p(co)=j f ( 0 j ) e - iatdt..	(1.3.20)
	—СО
Выражение	(1.3.19) не является решением	волнового

уравнения, если v зависит от частоты, поскольку волновое уравнение имеет физический смысл, лишь когда нет дис­ персии (т. о. когда v не зависит от частоты) или когда функция / (2, t) описывается очень узким спектром частот. Фазовая скорость v в формуле (1.3.6) не имеет смысла для функции типа (1.3.19). Одиако (1.3.19) правильно описы­ вает распространение плоской волны общего вида в дис­ пергирующей среде.

Нетрудно распространить концепцию полей, распро­ страняющихся в диспергирующей среде, на волновые возмущения неплоской структуры. Чтобы сделать это, введем вновь плоскую синусоидальную волну

g (х , у, z, t) = ср (кх, ку, со) exp [i (coi — к-г)], (1.3.21)

распространяющуюся в направлении вектора к. Здесь использованы комплексные обозначения. Вещественная часть от (1.3.21) описывает физическую плоскую волну. Амплитудный множитель ср может зависеть от независи­ мых переменных кх, ку и со. Поскольку абсолютная вели­ чина к вектора к должна удовлетворять соотношению (1.3.13), можно выразить кг через независимые перемен­ ные:

*, = / ( ^ ) Z- V x - k \ .

(1.3.22)

Из этой формулы видно, что z-составляющая (или любая другая компонента кх или ку, если предпочтительнее считать z-составляющую независимой переменной) векто­ ра к будет мнимой, когда подкоренное выражение стано­ вится отрицательным. В этом случае вместо плоской волны мы имеем дело с нераспространяющейся (локальной) волной. Нераспространяющиеся волны, таким образом, также являются решениями волнового уравнения. Ис­ пользуя суперпозицию волн вида (1.3.21) со всевозмож­ ными частотами, бегущих во всевозможных направлениях,

Волновая оптика

23

можно составить		общее выражение для волны,			распро­
страняющейся в		среде с		дисперсией:
		оо	оо	оо
1	Vi Z! О= (2я)3	J ^	J	^ dkyCp(kx, ^1/1 ®) X
		—СО	—со	—оо
		X ехр [г (сой — кхх — куу — kzz)].			(1.3.23)

Здесь z-составляющая волнового вектора определяется

формулой (1.3.22). Используя				вещественные функции,
можно также	написать
	оо	оо	оо
f{x i lJi z>0 =	4Яз ^ da	^	dkx J	dky | Ф	ку, со) | X

О—оо —оо

X cos (at— кхх — куу — /f2z-}-0). (1.3.24)

Это интегральное представление более общей волны состоит не только из синусоидальных плоских волн все­ возможных частот, распространяющихся по всевозмож­ ным направлениям, но также и из нераспространяющихся волн. При гармонической (синусоидальной) зависимости решения волнового уравнения от времени интегрирование по со можно из формулы (1.3.24) исключить.

Существование нераспространяющихся волн в свобод­ ном пространстве может показаться неожиданным, по­ скольку обычно под нераспространяющимися волнами понимают нечто присущее волноводам, когда их частота ниже критической. Нераспространяющиеся волны, встре­ чающиеся в наших рассуждениях, полностью обусловлены явлением полного внутреннего отражения волны, пытаю­ щейся проникнуть из среды с высокой диэлектрической постоянной в другую среду, обладающую более низкой диэлектрической постоянной. Чтобы понять это явление, рассмотрим гармоническую плоскую волну (1.3.21). Она обладает длиной волны X, определяемой формулой (1.3.13), и распространяется в пространстве в направлении, зада­ ваемом компонентами вектора к. Для простоты предполо­ жим, что волна распространяется в плоскости х, z, так что ку = 0 Теперь начнем поворачивать вектор к по направлению к оси х. В пределе при /с2-;= 0 волна пойдет параллельно оси х. Ее синусоидальное изменение в про­ странстве по направлению х имеет пространственный пери-

24 Гласа 1

од %. Однако математический аппарат допускает выбор кх У> 2я/А.. С точки зрения физики это означает, что мы вынуждаем поле изменяться с пространственным перио­ дом, меньшим Я. Это действительно можно сделать, но поле противодействует нашим усилиям путем сжатия в направлении оси г. Невозможно вынудить поле к про­ странственным колебаниям, более быстрым, чем колеба­ ния с длиной волны в свободном пространстве на рабочей частоте. Это рассмотрение показывает, что нераспрострапягощиеся волны встречаются всякий раз, когда мы на­ кладываем на поле пространственные вариации, которые являются более быстрыми, чем это совместимо с распро­ странением в свободном пространстве гармонической пло­ ской волны. Как известно, именно это имеет место при полном внутреннем отражении на границе двух сред.

До сих пор обсуждение касалось волнового уравнения (1.3.6). Однако волновое уравнение было получено как частный случай уравнения (1.3.4). Необходимо исследо­ вать, при каких условиях волновое уравнение является достаточно хорошим приближением к уравнению (1.3.4), так как с последним уравнением гораздо труднее обра­ щаться и оно почти не применяется при практических вычислениях. Весьма удачным является то обстоятельст­ во, что в большинстве приложений, встречающихся в оп­ тике, можно использовать простое волновое уравнение, даже если условие его справедливости [равепство нулю второго члена в уравнении (1.3.4)] не вполне выполняется.

Среди членов уравнения (1.3.4) доминирующими яв­ ляются первый члеп в левой части и член в правой части, порядок величин которых одинаковый. Нижеследующий анализ относится лишь к оценке порядка величин и не претендует на строгость. Член в правой части уравнения (1.3.4) по порядку величины равен

Э2Е	, г-,	СО2 т-, / 2 я \ 2 т~1	.. 0 о с .
е^ “Ж	= й ге^Е=^	Е = ( ч г ) Е -	(1-3.25)

Заменяя оператор V производной по некоторому направ­ лению S в пространстве, можно записать

(1.3.26)

Волновая оптика

25

Интересным является случай, когда второй член в пра­ вой части (1.3.26) много меньше первого. Сравним два рассматриваемых члена уравнения (1.3.4):

Здесь квадратные скобки указывают на то, что рассматри­ вается только порядок соответствующей величины. Счи­ тается, что градиент е по порядку величины равен отно­ шению разности е2 — е4 диэлектрических проницаемостей в двух близко расположенных точках к расстоянию AS между ними.

В качестве последнего шага выберем AS — %и получим

Чтобы можно было пренебречь вторым членом левой части уравнения (1.3.4), нужно потребовать выполнения усло­ вия R <^1. Как видно из соотношения (1.3.28), это озна­ чает, что относительное изменение е на расстоянии одной длины волны должно быть много меньше единицы. Это условие часто выполняется в оптически неоднородных средах. Мы убедимся ниже в том, что условие R «С 1 выполняется для случая оптических волноводов, у кото­ рых диэлектрическая проницаемость непрерывно изме­ няется, так что можно ограничиться решением волнового уравнения вместо гораздо более сложного уравнения (1.3.4). Только на границе раздела двух областей с различными диэлектрическими проницаемостями величина (1.3.28) поч­ ти равна или даже больше единицы. Большинство опти­ ческих приборов включает области, такие, как воздух, и материалы, диэлектрическая проницаемость которых отлична от диэлектрической проницаемости воздуха, но опять-таки постоянна. Например, на границе между стеклянными линзами и воздухом величина (1.3,28) боль­ шая. Однако даже в этих случаях требуется решать лишь ролповое уравнение, так как оно справедливо всюду, кроме

26

Глава 1

границы раздела сред. При этом решают волновое урав­ нение в различных однородных областях и сшивают эти решения посредством граничных условий. Граничные условия будут рассматриваться ниже.

Проверим, насколько обоснованным было пренебре­ жение вторым членом в правой части (1.3.26). Порядок величины пренебрегаемого члена относительно оставляе­ мого члена есть

(1.3.29)

Нет необходимости требовать, чтобы отношение (1.3.29) на самом деле было много меньше единицы. Вторым членом в (1.3.4) можно пренебречь и в том случае, когда оба слагаемых в (1.3.26) имеют одинаковый порядок величины. Для этого необходимо потребовать, чтобы изменение гра­ диента е на расстоянии одной длины волны примерно равнялось пли было мепыне самого градиента. Это требо­ вание выполняется при условиях, когда R 1.

Приведенные аргументы показывают, что волновое уравнение можно использовать даже тогда, когда величи­ на е не остается постоянной, а меняется в пространстве, но ее изменения должны быть незначительными на рассто­ янии в одну длину волны света. За исключением гранич­ ных поверхностей между двумя различными диэлектри­ ческими средами, это условие почти всегда выполняется. Таким образом, распространение света в неоднородной среде можно исследовать путем решения волнового уравнения. Разница между волновым уравнением и более точным уравнением (1.3.4) в большинстве практически интересных случаев незначительна.

1.4.ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

СЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СИММЕТРИЕЙ

Общее решение (1.3.24) волнового уравнения было построено для случая, когда е и р, постоянны в простран­ стве. Везде ниже опять будем предполагать, что величина р постоянна. Но если е является функцией пространствен­

Волновая оптика

27

ных координат, то суперпозиция плоских волн (1.3.24) уже не будет решением волнового уравнения. Оказывает­ ся, что все-таки и в этом случае можно построить общее решение из более простых решений. Такой подход известен как метод нормальных мод. Каждая плоская волна в пре­ дыдущем разделе может рассматриваться как мода неко­ торой структуры. Термин «мода» не всегда удается легко определить. Можно определить моду как собственное ре­ шение уравнений Максвелла, соответствующее некоторому собственному значению и удовлетворяющее всем гранич­ ным условиям задачи. Плоские волны, рассмотренные в предыдущем разделе, удовлетворяют всем этим требо­ ваниям. Векторы

Е =	Ае exp [i (at — k-r)],	(1.4.1)
Н =	5h exp [i (at — k-r)]	(1-4.2)

с комплексными коэффициентами А и В и единичными век­ торами е и h удовлетворяют уравнениям Максвелла, если удовлетворяются уравнения

—i (k X Ь) В	=	iaeAe,	(1.4.3)
—i (к х е)А	=	— гсорШ»,	(1.4.4)

полученные после подстановки выражений (1.4.1) и (1.4.2) в соотношения (1.2.1) и (1.2.2). Вводя единичный вектор и по (1.3.11), находим, что равенства (1.4.3) и (1.4.4) удо­ влетворяются, если имеют место следующие соотношения:

п-е = 0,			(1.4.5)
h =	п х	е,	(1.4.6)
В = л / — А.			(1.4.7)
0	У	(х

Из уравнения (1.4.5) видно, что мы имеем дело с попереч­ ными волнами. Поскольку в этом случае нет граничных условий, плоские волны (1.1.1) и (1.4.2) можно рассматри­ вать как моды в соответствии с нашим определением. Меж­ ду прочим, каждая компонента векторов Е и Н удовлетво­ ряет волновому уравнению. Составляя для каждой компоненты суперпозицию волн, получим общее реше­ ние уравнений Максвелла в однородной среде. Если же,

28 Глава 1

однако, е не остается постоянной в пространстве, то (1.4.1) н (1.4.2) не будут решениями пн волнового уравнения, ни уравнений Максвелла.

Рассмотрим решение уравнений Максвелла в неодно­ родной среде для частного случая, представляющего для нас особый интерес. Часто е не зависит от одной простран­ ственной координаты. Без ограничения общности можно считать, что диэлектрическая проницаемость не зависит от координаты z.

Будем искать модовые решения в виде
Е = Е 0(ж, у) exp [i (at — |3z)],	(1.4.8)
H = H0(;r, у) exp [i (at — |5z)].	(1.4.9)

После подстановки этих выражений в (1.2.1) и (1.2.2) и использования соотношений (1.2.3) и (1.2.4) приходим к следующий! уравнениям:

дПг	|		= когЕх,	(1.4.10)
ду	1
		dHz
фНх			= 1шЕу,	(1.4.11)
дПу		дх
		дНх —itoeEZ)		(1.4.12)
дх
		ду
дЕг	-НРЯ, = — icopIIх,			(1.4.13)
ду
фЕдН		дЕхдх	— i^d-Iy,	(1.4.14)
ЭЕу		дЕх — — щ Л 2.		(1.4.15)
дх
		ду

С помощью соотношений (1.4.10), (1.4.11), (1.4.13) и (1.4.14)

можно выразить поперечные компоненты поля через E z

и Н г:

Ех=		д	dEz	1	дНz \		(1.4.16)
		Р	дх	^	в,	)•
Еу=	-	м			дх	)•	(1.4.17)
н х=	-	м		“ е	в,	) ’	(1.4.18)
я г/= -		з дНг		|	в,	) ’	(1.4.19)
		0	ду	1

Волновал оптика

29

х2 = й2 - р а,	(1.4.20)
к2 — со2ер,.	(1.4.21)

Соответствующие выражения в цилиндрических координа­

тах будут приведены в разд. 8.2. Уравнения				(1.4.16) —
(1.4.19) являются точными.		Замена IIх и	IIу	в (1.4.12)
выражениями (1.4.18) и (1.4.19) приводит к
02Ег	д2Е ,	-%2Ez— 0.		(1.4.22)
дх2	ду2
Из уравнения (1.4.15)	аналогичным образом			получаем
'Г-Н, дЧ1г		X2Hz= 0.		(1.4.23)
дх2	ду2
Уравнения (1.4.22) и (1.4.23)		выполняются	строго лишь

в случае е = const. Примечательным здесь является то, что каждое из этих уравнений содержит либо только E z, либо только IIz. Продольные компоненты векторов Е и Н не связаны друг с другом и могут быть выбраны про­ извольным образом, лишь бы они удовлетворяли уравне­ ниям (1.4.22) и (1.4.23). Как правило, обе продольные компоненты поля связываются граничными условиями. Если же из граничных условий не вытекает связь этих компонент, то можно получить модовые решения при E z — 0 или II г = 0. Их называют соответственно попереч­ ными электрическими или ТЕ-модами и поперечными магнитными или ТМ-модами.

В общем случае, когда е зависит от х и у, уравнения (1.4.22) н (1.4.23) становятся приближенными. Однако они дают хорошие приближения, если относительные измене­ ния е много меньше единицы на расстояниях порядка длины волны. В случае оптических полей с их весьма короткими длинами волн эти приближения обычно доста­ точно точны и существенно упрощают вычисления.

До сих пор осталась не определенной постоянная рас­ пространения р. Она является собственным значением рассматриваемой граничной задачи. Ее величина или, точнее, ее возможные значения определяются граничными условиями задачи. Общие решения уравнений Максвелла получаются путем суперпозиции мод.