Билет №10

1. Теория множеств: множества и операции над множествами, основные проблемы.

Понятие множества - одно из основных в математике.

Под множеством понимают совокупность объектов (предметов или понятий), которая рассматривается как одно целое.

Объекты, входящие в состав множества, наз.- ся его элементами.

Для ряда числовых множеств в математике приняты стандартные обозначения: N - множество натуральных чисел; Z - множество целых чисел; Q - множество рациональных чисел; R - множество действительных чисел. Множество можно задать, перечислив все его элементы . Например, если мы скажем, что множество А состоит из чисел 3, 4, 5 и 6, то мы зададим это множество, поскольку все его элементы окажутся перечисленными: А = {3, 4, 5, 6}. Однако если множество бесконечно, то его элементы перечислить нельзя. Трудно задать таким способом и конечное множество с большим числом элементов. В таких случаях применяют другой способ задания множества:указывают характеристическое свойство его элементов. Характеристическое свойство - это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит. ОПР: Два множества А и В наз.- ют равными и пишут А=В, если А и В содержат одни и те же элементы. Т. О., множества А =В, если для любого х (лежит в) А , когда х € (лежит в) В. Часто множество обозначается его элементами, заключенными в {}. Так, например, множество, состоящее из элементов a, b, c, обозначается в {a, b, c}. Множество, состоящее из элементов а1, а2,…,аn, обозначается {а1, а2,…,аn}.

Операции над множествами.

1. Вхождение или включение множеств.

Говорят, что множество А входит в множество В (обозначение АВ) или множество В включает множество А (обозначение ВА) если из того, что некоторый элемент a A следует, что a В (запись ). Эту операцию можно пояснить следующим рисунком.

Из него видно, что если АВ, то множество В шире множества А, т.е. содержит большее число элементов. Если одновременно АВ и ВА, то означает, что множества А и В совпадают, или равны друг другу (обозначение А=В).

2. Объединение или сумма множеств.

Множество С называют объединением или суммой множеств А и В (обозначение С=АВ) если оно состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В, т.е. aС означает, что aA, или aВ или aи А и В одновременно. Это можно записать так: , где знак  есть символ логического сложения (читается “или”). Эта операция может быть пояснена следующим рисунком.

Операция  обладает обычными свойствами:

1) АВ= ВА;

2) А ВС)=(АВ) С.

Для суммы множеств А1, А2,…Аn используют обозначение .

3. Пересечение или произведение множеств.

Множество С называется пересечением или произведением множеств А и В (обозначается С=АВ) если оно состоит из элементов, принадлежащих одновременно и множеству А и множеству В. Это можно записать так: где знак  есть символ логического умножения (читается “и”). Эта операция может быть пояснена следующим рисунком.

Операция  обладает свойствами:

1) АВ= ВА;

2) А ВС)=(АВ)С.

По отношению друг к другу операции  и  обладают следующими свойствами:

1). (АВ)С=(АС) ВС)

(сравн. (a+b)c=(aс+bc))

2). (АВ)С=(АС) ВС)

Для пересечения множеств А₁, А₂,…А_n используют символ .

4. Вычитание или разность множеств.

Множество С называется разностью множеств А и В (обозначается С=А\В), если оно состоит из элементов, принадлежащих А, но не принадлежащих В. (Это можно записать так: ). Данный рисунок поясняет эту операцию.

В дальнейшем нам наиболее часто придется иметь дело с двумя множествами.

N={1, 2, 3, 4, ... } – множество всех целых положительных чисел и

Z={0, +1, -1, +2, -2, +3, -3, +4, -4, ... } –множество всех целых чисел.

Бесконечное множество – множество, содержащее бесконечное число элементов.

Взаимно-однозначное соответствие – правило, которое каждому элементу множества А ставит в соответствие элемент множества В, причем так, что каждому элементу множества В оказывается поставленным в соответствие один и только один элемент множества А.

Определение. Пусть В подмножество А. Дополнением множества В до множества А называется множество, содержащее все элементы множества А, которые не принадлежат множеству В. Из определения следует, что В'А = {х \ х А и х В}. Так, если А - множество четных чисел, а В - множество чисел, кратных 4, то В'А - это множество, содержащее такие четные числа, которые не делятся на 4. Пересечение множеств более сильная операция, чем обединение. Пересечение множеств более сильная операция, чем вычитание. Объединение и вычитание множеств считают равноправными операциями.