3. Заполнить таблицу размерности n*n:

1 2 3 … n-1 n

0 1 2 … n-2 n-1

……….

0 0 0 … 1

program gg;

var

a:array [1..10,1..10]of integer;

i,j,n,k:integer;

begin

writeln('Enter n:');

readln(n);

writeln('Array:');writeln;

for j:=1 to n do

for i:=1 to n do

a[i,j]:=0;

for i:=1 to n do begin k:=1;

for j:=i to n do

begin

a[i,j]:=k;

k:=k+1;

end;end;

for i:=1 to n do begin

for j:=1 to n do begin

write(a[i,j]:3,' ');end;

writeln;

end;

readln;

end.

Билет №30

1. Группы (подгруппы), поля и кольца.

Алгебра Е=<G,*,’> называется группой, если ее главные операции удовлетворяют условиям (аксиомам):

1) бинарная операция * ассоциативна, т.е. для любых эл-ов a, b, c из G а*(b*c)=(f*b)*c;

2) в G имеется правый нейтральный элемент относительно операции *, т.е. такой элемент е, что а*е=а для всякого эл-та а из G;

3) для любого Эл-та а из G а*а’=е.

ОПР: Группа Е=<G,*,’> называется абелевой или коммутативной, если бинарная операция группы * коммутативна, т.е. для любых a, b из G a*b=b*a.

ОПР: Порядком группы Е=<G,*,’> называется число Эл-ов основного множ-ва G группы, если G конечно. Если G – бесконечное множество, то группу Е называют группой бесконечного порядка.

При мультиплмкативной записи бинарную операцию группы наз-т умножением и пишут a∙b (ab) вместо а*b, называя Эл-т ab произведением Эл-ов а и b. При аддитивной записи бинарную операцию группы наз-т сложением и пишут a+b вместо а*b, называя Эл-т а+b суммой Эл-ов a и b. Эл-т, симметричный Эл-ту а, обозначают (-а) и называют противоположным Эл-ту а. Нейтральный Эл-т относительно сложения обозначают символом 0 или 0Е и называют нулевым Эл-ом или нулем группы.

П-р: Пусть Q – множ-во всех рациональных чисел с обычным сложением и унарной операцией -, операцией перехода от числа а к противоположному числу (-а). Алгебра Q=<Q,+,-> является группой. Она называется аддитивной группой рациональных чисел.

Подгруппой группы Е называется любая подалгебра этой группы.

Алгебра Н=<Y, ○, ^-1> типа (2,1) называется подгруппой группы Е=<G, ▪, ^-1>, если Н€G и тождественное отображение множ-ва Н в G мономорфизмом алгебры Н в Е, т.е. выполняется усл-я:

1) a○b= a∙b доля любых a,b из Н;

2) а^-1=a^-1 для а Н.

Теорема: Любая подгруппа группы является группой. Нейтральный элемент группы является нейтральным элементом любой ее подгруппы.

Пример1. Множество положительных чисел R₊ является группой относительно умножения чисел. Единицей этой группы явля­ется число 1

Пример2. Множество R вещественных чисел — абелева группа относительно сложения; число ноль является единицей этой группы. Множество Z целых чисел - дискретная подгруппа группы R.

Пример3. Абелевой группой является линейное пространст­во Rⁿ=R*R*...*R. Любое линейное (векторное) про­странство является в первую очередь непрерывной абелевой группой относительно сложения векторов. В ней введено ум­ножение элементов на числа.

Определение. Если число элементов группы, конечно, то группу назы­вают конечной, а число элементов в ней — порядком группы. Порядок конечной группы G обозначают через ord G.

Пример. Группа всех подстановок над n элементами.

ОПР: Кольцом называется алгебра К=<K,+,-,∙,1>, главные операции которой удовлетворяют следующим усл-ям:

1) алгебра <K,+,-> есть абелева группа;

2) алгебра <K,∙,1> есть моноид;

3) умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е. для любых Эл-ов a,b,c из К (a+b)∙c=a∙c+b∙c, c∙(a+b)=c∙a+c∙b.

ОПР: Группа <K+,-> называется аддитивной группой кольца К. Нуль этой группы, т.е. нейтральный эл-т относительно сложения, наз-ся нулем кольца и обозначается ч/з 0 или 0К.

ОПР: Моноид <K,∙,1> называется мультипликативным моноидом кольца К. Эл-т 1, обозначаемый также ч/з 1 , являющийся нейтральным относительно умножения, называется единицей кольца К.

Кольцо К наз-ся коммутативным, если a∙b=b∙a для любых эл-ов a,b кольца. Кольцо К наз-ся нулевым, если |К|={0K}.

ОПР: Кольцо К наз-ся областью целостности, если оно коммутативно, 0 ≠1 и для любых a,b R из a∙b=0 следует а=0 или b=0.

ОПР: Эл-ты а и b кольца К наз-ся делителями нуля, если а≠0, b≠0 и ab=0 b или ba=0.

ПОЛЯ

ОПР: Эл-т а кольца К наз-ся обратимым эл-ом кольца, если в кольце сущ-т такой Эл-т b, что ab=ba=1 . при этом эл-ты a и b наз-ся взаимно обратными.

ОПР: Полем наз-ся коммутативное кольцо, в котором нуль отличен от 1, 0 ≠1 , и всякий ненулевой Эл-т яв-ся обратимым эл-ом кольца.

ОПР: Пусть F=<F,+,-,∙,1> - поле. Группа <F,+,-,1> наз-ся аддитивной группой поля. Ей нейтральный Эл-т наз-ся нулем поля и обознач-ся символом ноль при 0 . Эл-т 1, нейтральный относительно умножения,наз-ся ед-ей поля и обозн-ся так же символом 1 .

ОПР: Под полем поле F наз-ся подкольцо поля F, в котором всякий ненулевой Эл-т обратим. Подполе поля F, отличное от F, наз-ся собственным подполем. Ясно, что всякое подполе яв-ся полем.

ОПР: Поле наз-ся простым, если оно не имеет собственных подполей