Признаки существования пределов

Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Например, функция у = sin х при х → ∞ предела не имеет. Во многих вопросах анализа бывает достаточно только убедиться в существовании предела функции. В таких случаях пользуются признаками существования предела.

Теорема 1 (о пределе промежуточной функции). Если функция f(х) заключена между двумя функциями φ(х) и g(х), стремящихся к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т.е. если

,,, то.

Теорема 2 (о пределе монотонной функции). Если функция f(х) монотонна и ограничена при х < х₀ или при х > х₀, то существует ее левый предел или ее правый предел.

Замечательные пределы Первый замечательный предел

При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел

,

называемый первым замечательным пределом: предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю.

Пример 4. Найти .

Решение: Имеем неопределенность вида . Теорема о пределе дроби неприменима. Обозначим 3х = t; тогда при х → 0 и t → 0, поэтому

.

Пример 5. Найти .

Решение: .

Второй замечательный предел

Пример 6. Найти .

Решение: Обозначим х = 2t, очевидно, t → ∞ при х → ∞. Имеем

.

Сравнение бесконечно малых функций

Сумма, разность и произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая. Отношение же двух б.м.ф. может вести себя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно большой функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к какому пределу.

Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения.

Пусть  = (х) и β = β(х) есть б.м.ф. при х → х₀, т.е. и.

1. Если (А  R), то  и β называются бесконечно малыми одного порядка.

2. Если , то называется бесконечно малой более высокого порядка, чем β.

3. Если , то называется бесконечно малой более низкого порядка, чем β.

4. Если не существует, то и β называются несравнимыми бесконечно малыми.

Таковы же правила сравнения б.м.ф. при х → ± ∞, х → х₀ ± 0.

Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них

Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые.

Если , то и β называются эквивалентными бесконечно малыми (при х → х₀); это обозначается так:  ~ β.

Например, sin х ~ х при х → 0, т. к. ;tg х ~ х при х → 0, т. к. .

Теорема 1. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.

Теорема 2. Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них.

Справедливо и обратное утверждение: если разность б.м.ф.  и β есть бесконечно малая высшего порядка, чем  или β, то  и β – эквивалентные бесконечно малые.

Теорема 3.Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно малых, называется главной частью этой суммы.

Замена суммы б.м.ф. ее главной частью называется отбрасыванием бесконечно малых высшего порядка.

Пример 7. Найти предел .

Решение: , поскольку7х² + 3х ~ 3х и sin2х ~ 2х при х → 0.