Сложнаяфункция

Пусть даны две функции и, при этом множество значений второй функции входит в область определения первой. Тогда любомув силу правила φ соответствует определенное числои, а числуифункциясопоставляет числоу. В этом случае правилаfи φ сопоставляют каждомуходно значениеу, т.е.

.

Здесь имеет место функция от функции или сложная функция.

Переменную называютпромежуточным аргументомсложной функции.

Например, функция сложная функция, ее можно представить в виде цепочки простых:,. Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.

Обратная функция

Пусть y = f(x)есть функция от независимой переменнойх,определенной на множествеХс областью значенийY. Поставим в соответствие каждомуединственное значение, при котором f(x)=у.Тогда полученная функция, определенная на множествеY с областью значений Х, называетсяобратной.Обратную функцию обозначают также в виде. Например, для функцииобратной будет функцияили.

Для любой строго монотонной функции существует обратная функция.

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Основные элементарные функции

Основными элементарными функциями являются:

1) степенная , где α – действительное число;

2) показательная ;

3) логарифмическая ;

4) тригонометрические функции: ;

5) обратные тригонометрические функции:

.

Функция, полученная из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операций взятия функции от функции, называется элементарной функцией.

Например, ,.

Вопросы для самопроверки

1. Какая величина называется постоянной? переменной?

2. Что называется областью изменения переменной величины?

3. Что называется числовой осью? Как изображаются на числовой оси области изменения переменной величины?

4. Что называется функцией одной независимой переменной?

5. Что называется областью определения функции?

6. Что называется частным значением функции?

7. Приведите наиболее употребительные способы задания функции и укажите особенности (достоинства и недостатки) каждого из этих способов.

8. Какая функция называется явной? неявной?

9. Какая функция называется возрастающей? убывающей?

10. Какая функция называется четной? нечетной?

11. Какая функция называется периодической?

12. Какая функция называется целой рациональной? дробно-рациональной? рациональной?

13. Какая функция называется иррациональной?

14. Какая функция называется алгебраической? трансцендентной?

15. Какие функции называются основными элементарными функциями?

16. Какая функция называется сложной?

17. Какая функция называется элементарной?

18. Что называется интервалом знакопостоянства функции?

19. Какие функции называются взаимно обратными? Как построить график обратной функции по графику данной функции в системе декартовых координат?

20. Дайте определение и начертите графики следующих функций: линейной, квадратичной, дробно-линейной, показательной, логарифмической.

Предел и непрерывность функции одной переменной

Литература.[1], [2], [6], [7], [17].