Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение дифференциального уравнения первого порядка и его общего и частного решения (интеграла). Сформулируйте задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка и укажите ее геометрический смысл.

2. Дайте геометрическое истолкование дифференциального уравнения первого порядка, выясните геометрический смысл общего и частного решений.

3. Сформулируйте теорему о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.

4. Дайте определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. Изложите метод нахождения его общего решения. Приведите примеры.

5. Дайте определение однородного дифференциального уравнения первого порядка. Изложите метод нахождения его общего решения. Приведите примеры.

6. Дайте определение линейного дифференциального уравнения первого порядка. Изложите метод нахождения его общего решения. Приведите пример.

7. Что называется особым решением дифференциального уравнения первого порядка?

8. Сформулируйте теорему о существовании и единственности решения дифференциального уравнения второго порядка.

9. Дайте определение линейного дифференциального уравнения n-го порядка (однородного и неоднородного). Докажите основные свойства частных решений линейного однородного дифференциального уравнения.

10. Дайте определение линейно зависимых и линейно независимых функций и приведите примеры.

11. Докажите теорему об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.

12. Выведите формулу для общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае действительных различных корней характеристического уравнения. Приведите пример.

13. Выведите формулу для общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае равных корней характеристического уравнения. Приведите пример.

14. Выведите формулу для общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней характеристического уравнения. Приведите пример.

15. Изложите правило нахождения частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью вида , где— многочлен степени.

16. Изложите правило нахождения частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью вида , где— многочлены степениm иnсоответственно.

Тема 7. Ряды

Литература: [1],[3],[4],[6],[8],[18],[19],[20],[21],[22].

Числовые ряды

Определение. Выражение

(1)

называется рядом, где – последовательность чисел или функций. Слагаемые– это члены ряда,– общий член ряда.

Ряд называется числовым, если все его члены являются числами.

Ряд является функциональным, если все члены ряда – функции.

Определение.Сумма конечного числапервых членов ряда называетсяn-й частичной суммой ряда:

. (2)

— первая частичная сумма,

—вторая частичная сумма,

—третья частичная сумма,

—n-я частичная сумма и т.д.

Определение. Если существует конечный предел последовательности частичных сумм

, (3)

то его называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится. Если не существует, то говорят, что ряд расходится и суммы не имеет.

Теорема(необходимый признак сходимости ряда).

Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю при .

Этот признак не является достаточным,т.е. из того, что,еще не следует, что ряд сходится. Например, – гармонический ряд,, а ряд расходится. Но если,то ряд расходится (это следствие из теоремы), т.е. отличие от нуляявляется достаточным условием для расходимости ряда .

Теорема(непредельная форма признака сравнения).

Пусть даны два положительных ряда:

, ,

, .

Если члены первого ряда не больше соответствующих членов второго ряда и второй ряд сходится, то первый ряд тоже сходится.

Итак, если и, то.

Теорема. Если члены первого ряда не меньше соответствующих членов второго ряда и второй ряд расходится, то первый ряд тоже расходится.

Примечания:

1. Эти две теоремы представляют первый признак сравнения.

2. Часто оказывается полезным рассматривать не соотношение между общими членами a_n, b_n рядов, а предел их отношения при , то есть предельную форму первого признака сравнения.

Теорема (второй признак сравнения)

Если для знакоположительных рядов

,

, (4)

то эти ряды одновременно сходятся или расходятся.

Следствие. Теорема имеет место, если .

Признаки сходимости рядов с положительными членами

Признак Даламбера. Если для знакоположительного ряда существует

, (5)

то при ряд сходится, приряд расходится; привопрос о сходимости ряда остается открытым (в этом случае необходимо применять другие признаки сходимости рядов).

Признак Коши. Если существует

, (6)

то при ряд , , сходится; при – расходится, при ряд может сходиться или расходиться (требуется дополнительное исследование).

Интегральный признак Коши. Если функция непрерывная, положительная, не возрастающая дляи при натуральных значениях аргумента x

, , ...,,...,

то ряд и несобственный интегралодновременно сходятся или расходятся.

Пример.Исследовать на сходимость ряд:

1. с помощью признака Даламбера;

2. используя интегральный признак.

Решение.

1. По условию, ,, следовательно,

,

т.е. признак Даламбера не позволяет сделать заключения о сходимости или расходимости ряда.

2. Члены данного ряда положительны и убывают; в качестве функции возьмем функциюпри; эта функция непрерывна и убывает, причем. Так как

,

то данный ряд расходится.