Тема 3. Функции и пределы Функция одной независимой переменной

Литература.[1], [2], [6], [7], [17].

Постоянные и переменные величины

Под величиной будем понимать все то, что выражает свойства предмета, явления или процесса. Площадь земельного участка, масса животного, себестоимость продукции, процент жира в молоке и т. д. – все это примеры величин. Каждая из величин может быть измерена с помощью прибора или вычислена, в результате чего получают число, называемое числовым значением величины. Величины выражаются в определенных единицах. Такие величины называютсяразмерными. Каждой величине свойственна своя единица. Единицы величин образуют систему. Общепринятой является Международная система (СИ). Ее основными единицами являются: метр (м) – единица длины; килограмм (кг) – единица массы; секунда (с) – единица времени; кельвин (к) – единица температуры; кандела (кд) – единица силы света; моль – единица количества вещества. Величины могут быть безразмерными. Например, доля опытов, в которых наблюдаемое явление произошло.

Когда мы наблюдаем какой-нибудь процесс или явление из области физики, экономики, агрономии или другой области знаний, то видим, что одни величины сохраняют свои значения, другие же принимают различные значения. Например, при равномерном движении точки время и расстояние меняются, а скорость постоянна. Переменной величинойназывается величина, которая принимает различные числовые значения. Величина, числовые значения которой не меняются, называетсяпостоянной.

Обозначения: x, y, z, t,…- переменные величины;a, b, c, d,…- постоянные величины.

Совокупность всех числовых значений переменной величины называется областью изменения этой переменной.

Области изменения переменной величины:

(a, b) = {x: a < x < b} – промежуток или интервал;

[a, b] = {x:a ≤ x ≤ b} – отрезок или замкнутый интервал;

(a,b] = {x: a < x ≤ b},

[a,b) = {x: a ≤ x < b} – полуоткрытые интервалы;

(-∞, b] = {x:x≤b},

(-∞, b) = {x:x<b},

[a, +∞) = {x:x≥a},

(a, +∞) = {x:x>a},

(-∞, +∞) = {x: -∞ <x< +∞} – бесконечные интервалы.

Произвольный интервал (a, b), содержащий внутри себя точку, называетсяокрестностью точки :a <<b.

Если точка — середина окрестности, то она называетсяцентром окрестности, величинаназываетсярадиусом окрестности.

Переменная величина называется возрастающей, если каждое последующее ее значение больше предыдущего ее значения. Переменная величина называетсяубывающей, если каждое ее последующее значение меньше предыдущего.

Понятие функции. Область её определения. Способы задания

К понятию функции приводит изучение разнообразных явлений в окружающем нас мире. Например, каждому значению длины грани куба соответствует его объём; каждому моменту времени в данной местности соответствует определённая температура воздуха; каждому значению возраста животного соответствует его масса; каждому показателю рентабельности соответствует определённая величина прибыли.

Во всех этих примерах общим является то, что каждому числовому значению одной величины сопоставляется определенное числовое значение другой.

Правило f, сопоставляющее каждому числу единственное число, называется числовой функцией, заданной на множествеXи принимающей значения во множествеY.

Если , то пишутy = f(x).

Функцией называют также уравнение y = f(x), т.е. формулу, гдеувыражено черезхс помощью правилаf.

В уравнении y = f(x) «х» называютнезависимой переменнойилиаргументом, ау-зависимой переменнойилифункцией от «х». Зависимостьх иуназываетсяфункциональной.

Множество всех значений независимой переменой, для которых определена функция, называется областью определения этой функции, обозначаетсяD(f).

Обычно D(f) представляет собой интервал – открытый, полуоткрытый, бесконечный, или их сумму.

Пример.. НайтиD(f).

Решение. Функция не определена при.D(f)= (-∞, -1)(-1, +∞).

Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ: функция задаётся в виде одной или нескольких формул или уравнений.

Например, 1), 2), 3)

Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию.

Графический способ: задаётся график функции.

Совокупность точек плоскости xOy, абсциссы которых являются значениями независимой переменной, а ординаты – соответствующими значениями функции, называетсяграфиком данной функции.

Часто графики вычерчиваются автоматически самопишущими приборами или изображаются на экране дисплея. Преимущество графического задания является его наглядность, недостатком – его неточность.

Табличный способ: функция задаётся таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции.

Например, таблицы тригонометрических функций, логарифмов, таблицы железнодорожных тарифов.

Табличный способ удобен для использования, он широко применяется при регистрации опытов, лабораторных анализов, при подсчете объема грубых кормов в скирдах и т. д. К недостатку способа относится то, что представление о функциональной зависимости здесь не является полным, так как невозможно поместить в таблице все значения аргумента.

Существует еще один способ задания функции, возникший с развитием и внедрением в производство ЭВМ. Этот способ состоит в указании программы для вычисления значения функций на ЭВМ.