Локальная и интегральная теоремы Лапласа

При достаточно большом формула Бернулли дает громоздкие вычисления. Поэтому в таких случаях применяют локальную теорему Лапласа.

Теорема (локальная теорема Лапласа). Если вероятностьpпоявления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятностьтого, что событие А появится вnнезависимых испытаниях ровноkраз, приближенно равна значению функции:

,

где

.

Имеются таблицы, в которых находятся значения функции , для положительных значенийx.

Заметим, что функция четна.

Итак, вероятность того, что событие А появится в nиспытаниях ровноkраз приближенно равна

, где.

Пример. На опытном поле посеяли 1500 семян. Найти вероятность того, что всходы дадут 1200 семян, если вероятность того, что зерно взойдет, равна 0,9.

Решение.

Интегральная теорема Лапласа

Вероятность того, что в nнезависимых испытаниях событие А появится не менееk1 раз и не болееk2 раз вычисляется по интегральной теореме Лапласа.

Теорема (интегральная теорема Лапласа). Если вероятность р наступления события а в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событие А вnиспытаниях появится не менееk₁раз и не болееk₂раз приближенно равна значению определенного интеграла:

,

где

.

Функция называется интегральной функцией Лапласа, она нечетна и ее значение находятся по таблице для положительных значенийx.

Пример.В лаборатории из партии семян, имеющих всхожесть 90%, высеяно 600 семян, давших всходы, не менее 520 и не более 570.

Решение.

Формула Пуассона

Пусть производится nнезависимых испытаний, вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и равна р. Как мы уже говорили, вероятность появления события А вnнезависимых испытаниях ровноkраз можно найти по формуле Бернулли. При достаточно большомnиспользуют локальную теорему Лапласа. Однако, эта формула непригодна, когда вероятность появления события в каждом испытании мала или близка к 1. А при р=0 или р=1 вообще не применима. В таких случаях пользуются теоремой Пуассона.

Теорема (теорема Пуассона). Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и близка к 0 или 1, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что вnнезависимых испытаниях событие А появится ровноkраз находится по формуле:

.

Пример. Рукопись объемом в тысячу страниц машинописного текста содержит тысячу опечаток. Найти вероятность того, что наудачу взятая страница содержит хотя бы одну опечатку.

Решение.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте классическое определение вероятности события.

2. Сформулируйте теоремы сложения и умножения вероятностей.

3. Дайте определение полной группы событий.

4. Запишите формулу полной вероятности.

5. Запишите формулу Бейеса.

6. Запишите формулу Бернулли.

7. Запишите формулу Пуассона.

8. Запишите локальную формулу Лапласа.

9. Запишите интегральную формулу Лапласа.

Тема 13. Случайная величина и ее числовые характеристики

Литература: [2],[8],[9],[10],[18],[22].

Одним из основных понятий в теории вероятностей является понятие случайной величины. Так принято называть переменную величину, которая принимает свои значения в зависимости от случая. Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные. Случайные величины принято обозначать X,Y,Z.

Случайная величина Х называется непрерывной (дискретной), если она может принимать лишь конечное или счетное число значений. Дискретная случайная величина Х определена, если даны все ее возможные значения х₁, х₂, х₃,…х_n(число которых может быть как конечным, так и бесконечным) и соответствующие вероятности р₁, р₂, р₃,…р_n.

Закон распределения дискретной случайной величины Х обычно задается таблицей:

Х	х1	х2	х3	…	хn	(1)
Р	р1	р2	р3	…	рn

Первая строка состоит из возможных значений случайной величины Х, а во второй строке указаны вероятности этих значений. Сумма вероятностей, с которыми случайная величина Х принимает все свои значения, равна единице, то есть

р₁+р₂+ р₃+…+р_n=1.

Закон распределения дискретной случайной величины Х можно изобразить графически. Для этого в прямоугольной системе координат строят точки М₁(х₁,р₁), М₂(х₂,р₂), М₃(х₃,р₃),…М_n(x_n,p_n) и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения случайной величины Х.

Пример. Дискретная величина Х задана следующим законом распределения:

Х	48	53	57	61
Р	0,2	0,4	0,3	0,1

Требуется вычислить: а) математическое ожидание М(Х), б) дисперсию D(X), в) среднее квадратическое отклонение σ.

Решение. а) Математическое ожидание М(Х), дискретной случайной величины Х называется сумма попарных произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие вероятности этих возможных значений. Если дискретная случайная величина Х задана с помощью таблицы (1), то математическое ожидание М(Х) вычисляется по формуле

М(Х)=х₁∙р₁+х₂∙р₂+х₃∙р₃+…+х_n∙p_n. (2)

Математическое ожидание М(Х) называют также средним значением случайной величины Х. Применяя (2), получим:

М(Х)=48∙0,2+53∙0,4+57∙0,3 +61∙0,1=54.

б) Если М(Х) есть математическое ожидание случайной величины Х, то разность Х-М(Х) называется отклонением случайной величины Х от среднего значения. Эта разность характеризует рассеяние случайной величины.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание (среднее значение) квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Таким образом, по самому определению имеем:

D(X)=M[X-M(X)]². (3)

Вычислим все возможные значения квадрата отклонения.

[x₁-M(X)]²=(48-54)²=36

[x₂-M(X)]²=(53-54)²=1

[x₃-M(X)]²=(57-54)²=9

[x₄-M(X)]²=(61-54)²=49

Чтобы вычислить дисперсию D(X), составим закон распределения квадрата отклонения и затем применим формулу (2).

[x-M(X)]^2	36	1	9	49
Р	0,2	0,4	0,3	0,1

D(X)= 36∙0,2+1∙0,4+9∙0,3 +49∙0,1=15,2.

Следует отметить, что для вычисления дисперсии часто используют следующее свойство: дисперсия D(X) равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания, то есть

D(X)-M(X²)-[M(X)]². (4)

Чтобы вычислить дисперсию по формуле (4), составим закон распределения случайной величины Х²:

Х^2	48^2	53^2	57^2	61^2
Р	0,2	0,4	0,3	0,1

Теперь найдем математическое ожидание М(Х²).

М(Х²)= (48)²∙0,2+(53)²∙0,4+(57)²∙0,3 +(61)²∙0,1=

=460,8+1123,6+974,7+372,1=2931,2.

Применяя (4), получим:

D(X)=2931,2-(54)²=2931,2-2916=15,2.

Как видно, мы получили такой же результат.

в) Размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины. Поэтому для характеристики рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения более удобно рассматривать величину, которая равна арифметическому значению корня квадратного из дисперсии, то есть . Эту величину называют средним квадратическим отклонением случайной величины Х и обозначают через σ. Таким образом

σ=. (5)

Применяя (5), имеем: σ=.

Пример. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание М(Х)=5; дисперсияD(X)=0,64. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение в интервале (4;7).

Решение. Известно, что если случайная величина Х задана дифференциальной функциейf(x), то вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (α,β), вычисляется по формуле

. (1)

Если величина Х распределена по нормальному закону, то дифференциальная функция

,

где а=М(Х) и σ=. В этом случае получаем из (1)

. (2)

Формулу (2) можно преобразовать, используя функцию Лапласа.

Сделаем подстановку. Пусть . Тогдаилиdx=σ∙dt.

Следовательно , гдеt₁иt₂соответствующие пределы для переменнойt.

Сократив на σ, будем иметь

Из введенной подстановки следует, чтои.

Таким образом,

(3)

По условию задачи имеем: а=5; σ==0,8; α=4; β=7. Подставив эти данные в (3), получим:

=Ф(2,5)-Ф(-1,25)=

=Ф(2,5)+Ф(1,25)=0,4938+0,3944=0,8882.

Пример. Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Стандартная длина (математическое ожидание) а=40 см, среднее квадратическое отклонение σ=0,4 см. Найти вероятность того, что отклонение длины от стандартной составит по абсолютной величине не более 0,6 см.

Решение. Если Х – длина детали, то по условию задачи эта величина должна быть в интервале (а-δ,а+δ), где а=40 и δ=0,6.

Положив в формулу (3) α= а-δ и β= а+δ, получим

Итак,

. (4)

Подставив в (4) имеющиеся данные, получим:

Следовательно, вероятность того, что изготавливаемые детали по длине будут в пределах от 39,4 до 40,6 см, составляет 0,8664.

Пример. Диаметр деталей, изготавливаемых заводом, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Стандартная длина диаметраа=2,5см, среднее квадратическое отклонение σ=0,01. В каких границах можно практически гарантировать длину диаметра этой детали, если за достоверное принимается событие, вероятность которого равна 0,9973?

Решение. По условию задачи имеем:

а=2,5; σ=0,01; .

Применяя формулу (4), получаем равенство:

или.

По таблице 2 находим, что такое значение функция Лапласа имеет при х=3. Следовательно, ; откуда σ=0,03.

Таким образом, можно гарантировать, что длина диаметра будет изменяться в пределах от 2,47 до 2,53 см.