- •Министерство сельского хозяйства рф
- •Тема 1. Аналитическая геометрия 9
- •Общие методические указания
- •Тема 1. Аналитическая геометрия Элементы аналитической геометрии на плоскости
- •Уравнение прямой на плоскости
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Угол между прямыми на плоскости
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой
- •Расстояние от точки до прямой
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 2 линейная алгебра
- •Матрицы
- •Основные действия над матрицами.
- •Определители
- •Свойства определителей
- •Метод Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 3. Функции и пределы Функция одной независимой переменной
- •Постоянные и переменные величины
- •Понятие функции. Область её определения. Способы задания
- •Сложнаяфункция
- •Обратная функция
- •Основные элементарные функции
- •Вопросы для самопроверки
- •Предел и непрерывность функции одной переменной
- •Числовая последовательность
- •Предел числовой последовательности
- •Предельный переход в неравенствах
- •Признак существования предела последовательности
- •Предел функции в точке
- •Односторонние пределы
- •Предел функции при X →
- •Бесконечна большая функция (б.Б.Ф.)
- •Бесконечно малые функции (б.М.Ф.)
- •Основные теоремы о пределах
- •Признаки существования пределов
- •Замечательные пределы Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Сравнение бесконечно малых функций
- •Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них
- •Применение эквивалентных бесконечно малых функций к вычислению пределов
- •Непрерывность функции
- •Непрерывность функции в точке, на отрезке
- •Точки разрыва функции и их классификация
- •Свойства непрерывных функций Свойства функций, непрерывных в точке:
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке:
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 4. Дифференциальное исчисление функции одной независимой переменной
- •Определение производной; ее механический и геометрический смысл
- •Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •Правила дифференцирования функции
- •Производные основных элементарных функций
- •Производная сложной функции
- •Производная обратной функции
- •Производная неявно заданной функции
- •Правила дифференцирования
- •Производные высших порядков Производные высших порядков явно заданной функции
- •Механический смысл производной второго порядка
- •Производные высших порядков неявно заданной функции
- •Вопросы для самопроверки
- •Дифференциал функции
- •Понятие дифференциала функции, его геометрический смысл
- •Основные теоремы о дифференциалах. Таблица дифференциалов.
- •Применение производной к исследованию функций Возрастание и убывание функций
- •Экстремум функции
- •Выпуклость функции. Точки перегиба
- •Асимптоты
- •Общая схема исследования функций и построения их графиков
- •Наибольшее и наименьшее значение функции
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 5. Интегральное исчисление Неопределенный интеграл
- •Понятие неопределенного интеграла
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Основные методы интегрирования Метод непосредственного интегрирования
- •Пример. . Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)
- •Метод интегрирования по частям
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Определенный интеграл
- •Свойства определенного интеграла.
- •Вычисление определенного интеграла
- •Замена переменных в определенном интеграле
- •Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •Геометрические приложения определенного интеграла Вычисление площадей плоских фигур
- •Вычисление длины дуги кривой
- •Тема 6. Дифференциальные уравнения
- •Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Решение линейных уравнений первого порядка с помощью подстановки
- •Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 7. Ряды
- •Числовые ряды
- •Знакопеременные ряды
- •Вопросы для самопроверки
- •Функциональные и степенные ряды
- •Равномерная сходимость функционального ряда
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 8.Векторный анализ
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 9. Численные методы
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 10. Функции комплексного переменного
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 11. Элементы функционального анализа
- •Тема 12. Теория вероятностей
- •События и их классификация
- •Формула полной вероятности. Формула Бейеса.
- •Повторные испытания. Формула Бернулли
- •Локальная и интегральная теоремы Лапласа
- •Интегральная теорема Лапласа
- •Формула Пуассона
- •Тема 13. Случайная величина и ее числовые характеристики
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 14. Статистическое оценивание и проверка гипотез
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 15. Статистические методы обработки экспериментальных данных Основные понятия и методы математической статистики
- •Математическая статистика
- •Статистическое распределение выборки
- •Геометрическое изображение статистического распределения
- •Выборочные характеристики статистического распределения
- •Выборочная средняя
- •Выборочная и исправленная дисперсия
- •Доверительный интервал
- •Вопросы для самопроверки
- •Литература
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
Теорема 1. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.
Правила дифференцирования функции
Теорема 2.Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций:
Теорема 3.Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго:
Можно показать, что:
а)
б)
Теорема 4. Производная частного двух функцийесли, равна дроби, числитель которой есть разность произведений производной числителя на знаменатель дроби и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя:
Следствие 1.
Следствие 2.где
Производные основных элементарных функций
Степная функция .
Например,
Показательная функция
Логарифмическая функция
,
Тригонометрические функции y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x
(sin x)¢ = cos x.
(cos x)¢ = .
(tg x)¢
(сtg x)¢
Обратные тригонометрические функции y = arcsin x, y = arccos x,
y = arctg x, y = arcctg x
(arcsin x)¢ =
(arccos x)¢ =
(arctg x)¢ =
(arcctg x)¢
Производная сложной функции
Пусть у =итогдау=f((x)) — сложная функция с промежуточным аргументоми и независимым аргументомх.
Теорема 5. Если функцияимеет производнуюв точке, а функцияимеет производнуюв соответствующей точке, то сложная функцияу=f((x)) имеет производнуюв точке, которая находится по формуле
.
Итак, для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.
Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько. Так, если то .
Пример 3. Найти производную функции
Решение:Используя формулу производной сложной функции и формулу производной показательной функции, находим
Пример 4. Найти производную функции
Решение:Данная функция является сложной. Ее можно представить в виде цепочки «простых» функций: у =u3, гдеu=, гдеz= , гдеq= х4. По правилу дифференцирования сложной функцииполучаем:
Производная обратной функции
Пусть и-взаимно обратные функции.
Теорема 6. Если функциястрого монотонна на интервалеи имеет неравную нулю производнуюв произвольной точке этого интервала, то обратная ей функциятакже имеет производнуюв соответствующей точке, определяемую равенствомили
Таким образом, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.
Правило дифференцирования обратной функции записывают так:
или
Пример 5.Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, найти производнуюy'xдля функции.
Решение:Обратная функция имеет производную
Следовательно,
Производная неявно заданной функции
Если функция задана уравнением у = f (х), разрешенным относительноу, то функция задана в явном виде (явная функция).
Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(х; у) =0, не разрешенного относительноу.
Всякую явно заданную функцию у = f (х)можно записать как неявно заданную уравнениемf (х) – у= 0, но не наоборот.
Если неявная функция задана уравнением F(х; у) = 0, то для нахождения производной отупохнет необходимости разрешать уравнение относительноу: достаточно продифференцировать это уравнение пох, рассматривая при этомукак функциюх, и полученное затем уравнение разрешить относительноу'.
Производная неявной функции выражается через аргумент хи функциюу.
Пример6. Найти производную функции у, заданную уравнением
x3 +y3 – 3xy= 0.
Решение:Функцияузадана неявно. Дифференцируем похравенство
x3+y3 – 3xy= 0. Из полученного соотношения3x2 + 3y2 × у' – 3(1× y + x× у')= 0
следует, что y2 × у' – x× у' = y – x2, т.е.
.
Таблица производных
На практике чаще всего приходится находить производные от сложных функций. Поэтому в приведенной ниже таблице формул дифференцирования аргумент «х» заменен на промежуточный аргумент «u».
(с)¢ = 0;
()¢=;
, в частности,;
, в частности,;
(sinu)¢=cosu×u¢;
(cosu)¢= ;
(tgu)¢ ;
(сtgu)¢ ;
(arcsinu)¢=;
(arccosu)¢=;
(arctgu)¢= ;
(arcctgu)¢