Статистическое распределение выборки

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем х₁ наблюдалось n₁ раз, х₂ – n₂ раз,…, х_k – n_k раз и n_i = n – объем выборки.

Наблюдаемые значения x_i называются вариантами, а последовательности вариант, записанные в возрастающем порядке – вариационным рядом.

Число наблюдений n_i называют частотами, а их отношения к объему выборки =W_i – относительными частотами.

Статистическим распределениемвыборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Различают дискретные (возможные значения признака изолированы друг от друга) и интервальные (с непрерывным признаком) распределения.

Составление статистического распределения начинают с определения наименьшего и наибольшего значений признака. Остальные значения записывают между ними в порядке возрастания. Затем подсчитывают частоты каждого значения признака. Для непрерывного варьирующего количественного признака интервал его изменения разбивают на частичные интервалы одинаковой длины (классы). Величина такого интервала (класса) находится по формуле:

,

где n – объем выборки; x_max – x_min – разность между наибольшим и наименьшим значениями признака. Обычно число классов принимают равным 5-9. Значение признака, находящееся на границе двух интервалов, относят к правой границе интервала.

Геометрическое изображение статистического распределения

В целях наглядности строят различные графики статистического распределения и, в частности, полигон и гистограмму.

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x₁, W₁), (x₂, W₂),…, (x_k, W_k).

Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты x_i а, на оси ординат – соответствующие частоты W_i.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x₁, n₁), (x₂, n₂),…, (x_k, n_k).

Полигон частот строят в случае дискретного распределения.

Пример. Построим полигон относительных частот следующего распределения:

Х	1,5	3,5	5,5	7,5
W	0,1	0,2	0,4	0,3

В случае непрерывного распределения строят гистограмму.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению n_i/h (плотность частоты).

Гистограмма относительных частот – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основания которых – интервалы длиною h, а высоты равны отношению W_i/h.

Выборочные характеристики статистического распределения

Пусть имеется выборка объема n со значениями признака x₁, x₂,…, x_k. Тогда статистическое распределение имеет вид:

xi	x1	x2	…	xk
ni	n1	n2	…	nk

Чтобы охарактеризовать наиболее существенные свойства этого распределения, используют средние показатели или выборочные числовые характеристики.

Рассмотрим некоторые из них: выборочную среднюю; выборочную и исправленную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, моду, медиану и коэффициент вариации.