Свойства непрерывных функций Свойства функций, непрерывных в точке:

1. Если функции f(x)иφ(x)непрерывны в точкех₀, то их суммаf(x)+φ(x), произведениеf(x)φ(x)и частное(при условии) являются функциями, непрерывными в точке х_0.

2. Если функция у=f(x)непрерывна в точкех₀иf(х₀)>0, то существует такая окрестность точких₀, в которойf(х)>0.

3. Если функция f(и)>0 непрерывна в точкеи₀, а функцияи= φ(x)непрерывна в точкеи₀= φ(x₀), то сложная функцияу= f(φ(x))непрерывна в точкех₀.

Свойство 3 может быть записано в виде , т.е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

Функция у=f(x)называется непрерывной на промежуткеХ, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Все элементарные функции непрерывны в области их определения.

Свойства функций, непрерывных на отрезке:

1. Если функция у=f(x)непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке.

2. Если функция у=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает на этом отрезке наименьшего значеният и наибольшего значенияМ (теорема Вейерштрасса).

3. Если функция у=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и значения ее на концах отрезка f(а)и f(b) имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точкатакая,f(ξ)=0(теорема Больцано-Коши).

Вопросы для самопроверки

1. Что называется числовой последовательностью?

2. Что называется пределом числовой последовательности?

3. Что называется пределом функции непрерывного аргумента?

4. Сформулируйте основные теоремы о пределах функции.

5. Какая переменная величина называется бесконечно малой? бесконечно большой? Какова зависимость между ними?

6. Сформулируйте основные свойства бесконечно малых величин.

7. Как найти предел дробно рациональной функции при, еслии?

8. Укажите приемы вычисления предела от простейших иррациональных функций.

9. Сформулируйте и напишите первый замечательный предел.

10. Сформулируйте и напишите второй замечательный предел.

11. Как сравнить между собой две бесконечно малые величины?

12. Какие две бесконечно малые величины называются эквивалентными, и каковы свойства эквивалентных бесконечно малых величин?

13. Что называется левосторонним пределом функции в данной точке? правосторонним пределом функции в данной точке?

14. Дайте определение непрерывности функции в точке; в интервале.

15. Какая точка называется точкой разрыва функции?

16. Что называется разрывом первого рода? второго рода?

17. Что называется скачком функции в точке разрыва?

18. Сформулируйте основные свойства функции непрерывной на отрезке.

Тема 4. Дифференциальное исчисление функции одной независимой переменной

Литература.[1], [2], [6], [7], [17].

Определение производной; ее механический и геометрический смысл

Производной функцииу = f(x)в точкеназывается предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Обозначают одним из символов:

Итак, по определению

Производная функции есть некоторая функция.

Функция у=, имеющая производную в каждой точке интервала (а;b), называетсядифференцируемойв этом интервале; операция нахождения производной функции называетсядифференцированием.

Значение производной функции у=в точкеобозначается одним из символов:

Пример 1. Найти производную функции у = с, с = const.

Решение: Значению даем приращение; находим приращение функции; значит, = ;

следовательно, =

Пример 2. Найти производную функции у = х².

Решение: Аргументу х даем приращение ; находим

;

составляем отношение : =; находим предел этого отношения:=

Таким образом,

Механический смысл производной:

,

или V = S¢_t , т. е. скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времениtесть производная от путиSпо времениt.

Обобщая, можно сказать, что если функция у = f(x) описывает какой-либо физический процесс, то производная у' есть скорость протекания этого процесса. В этом состоит физический смысл производной.

Геометрический смысл производной:

Угловой коэффициент касательной =, т.е. производнаяв точкеxравна угловому коэффициенту касательной к графику функции у =f(x) в точке, абсцисса которой равна х.

Уравнение касательной: у -=×(x-х₀).

Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.

Уравнение нормали: (если.