Тема 6. Дифференциальные уравнения

Литература: [1],[2],[3], [4],[6],[8],[12],[18],[19],[20],[21],[22].

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения вида:

(1)

называются уравнениями с разделяющимися переменными. Решая такие уравнения, необходимо преобразовать их так, чтобы одна часть уравнения содержала только переменную у, а другая - только х, а затем проинтегрировать обе части (по у и по х соответственно).

Например, уравнение (1) надо разделить на , тогда получим. Проинтегрировав обе части, найдем общий интеграл:

. (2)

Кроме найденного общего интеграла (2) уравнению (1) могут также удовлетворять решения, получаемые из уравнения . Если эти решения не входят в общий интеграл (2), то они будут особыми решениями уравнения (1).

Пример. Скорость размножения некоторых бактерий пропорционально количеству бактерий, имеющихся в наличии в рассматриваемый момент времени. Известно, что количество бактерий за один час утроилось. Как изменится количество бактерий через 5 часов, если первоначальное количество равно a.

Решение. Пустьх— количество бактерий в момент времениt. Переменная величинахявляется функцией переменной величиныt. Скорость изменения величиныхвыражается производной. По условию задачи дифференциальное уравнение, описывающее рассматриваемый процесс, имеет вид, гдеk— некоторый коэффициент пропорциональности. Разделим переменные и решим составленное уравнение:

откуда , или— общее решение уравнения.

Значение произвольной постоянной Сопределяем из начальных условий: приt = 0,х = а. Следовательно,;C = a. Таким образом,, или— есть частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Чтобы определить коэффициент пропорциональности k, воспользуемся теми дополнительными условиями, которые указаны в задаче: при t=1 (за один час) количество бактерий устроилось, т. е. x=3a. Следовательно, , откуда, и мы получаем зависимость между переменными:.

Чтобы ответить на вопрос задачи, находим количество х при t=5: , . Как видно, через 5 ч количество бактерий увеличится в 243 раза.

Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения (ответ представить в виде (х, у)=с).

.

Решение. Уравнение представлено в дифференциальной форме. Для разделения переменных перенесем все слагаемые в одну часть уравнения и сгруппируем содержащие dx и dy:

Разделим обе части уравнения на , получим

.

Почленно интегрируя, получим искомый общий интеграл:

.

В первообразных модули можно опустить, т.к. ивеличины всегда неотрицательные.

Умножая обе части уравнения на 2 и учитывая свойства логарифма, получим

.

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение первого порядка называется однородным, еслиf(x,y) можно представить как функцию только одного отношения переменных , т.е. уравнение вида. Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными посредством замены функцииу (или х) новой функцией t по формуле y=tx (x=ty), причем .

Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

.

Решение. Данное уравнение первого порядка уже разрешено относительно производной. Установим, что она является функцией только отношения переменных , т.е. установим, что данное уравнение является однородным. Для этого числитель и знаменатель дроби разделим наx². (Другими словами, сократим дробь на x².)

.

Далее вводим новую функцию . Отсюда,. После подстановки данное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные:и, интегрируя, найдем

Возвращаясь к старым переменным, получим

Ответ: .