Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой

Определение.Прямая, проходящая через точку М₁(х₁, у₁) и перпендикулярная к прямой у =kx+bпредставляется уравнением:

Расстояние от точки до прямой

Теорема.Если задана точка М(х₀, у₀), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

.

Пример.Определить угол между прямыми:y= -3x+ 7;y= 2x+ 1.

Решение.k₁= -3;k₂= 2tg= ;=/4.

Пример. Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.

Решение. Находим:k₁= 3/5,k₂= -5/3,k₁k₂= -1, следовательно, прямые перпендикулярны.

Решение типового примера. Пусть А(-1; 2), В(5; -1), С(-4; -5).

1. Расстояние d между точками А{х₁;у₁) и В(х₂; у₂)определяется по формуле

d =, (1)

воспользовавшись которой находим длину стороны АВ:

АВ = .

2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости А(х₁;у₁) и В(х₂; у₂) имеет вид

(2)

Подставляя в (2) координаты точек А и В, получаем уравнение стороны АВ:

2у - 4= - х – 1; х+22у-3=0 (АВ)

Угловой коэффициент k_АВпрямой АВ найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом

y = kx + b.

У нас 2у = - х+3, то есть у=откудаk_АВ=.

Аналогично получим уравнение прямой ВС и найдем ее угловой коэффициент:

; - 9у - 9=-4х+20

—4х—9у—29=0 (ВС).

Далее -9у=-4х+29; у=т.е.k_ВС=.

3. Для нахождения внутреннего угла нашего треугольника воспользуемся формулой

(3)

Отметим, что порядок вычисления разности угловых коэффициентов, стоящей в числителе этой дроби, зависит от взаимного расположения прямых АВ и ВС. Подставив ранее вычисленные значения k_АВиk_ВСв (3), находим:

Теперь, воспользовавшись таблицами В. М. Брадиса или инженерным микрокалькулятором, получаем В0,88 рад.

4. Для составления уравнения медианы АЕ найдем сначала координаты точки Е, которая лежит на середине отрезка ВС:

Теперь, подставив в (2) координаты точек А и Е, получаем уравнение медианы:

;

3(у-2)=-10(х+1); 10х+3у+4=0 (АЕ).

5. Для составления уравнения высоты CDвоспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку М₀{х₀,у₀) с заданным угловым коэффициентомk, которое имеет вид

у—y₀=k(x—хо), (4)

и условием перпендикулярности прямых АВ и CD, которое выражается соотношениемk_AB*k_CD= - 1, откудаk_CD= 2. Подставив в (4) вместоk значениеk_CD= 2, а вместо х₀, у_о координаты точки С, получим уравнение высотыCD:

у+5 = 2(х+4); у+5 = 2х+8; 2х-у + 3=0 (CD).

Для вычисления длины высоты CDвоспользуемся форму­лой отыскания расстоянияdот заданной точки Мо{х₀, у₀) до заданной прямой с уравнением Ах+Ву-С=0, которая имеет вид

(5)

Подставив в (5) вместо х_о, у_окоординаты точкиС, а вместо А, В и С коэффициенты уравнения прямойАВ, получаем

6. Так как искомая прямая EF параллельна прямой АВ, тоk_EF =k_AB=. Подставив в уравнение (4) вместо х₀, у₀координаты точкиЕ, а вместоk значениеk_EFполучаем уравнение прямойЕЕ:

у+3=;2у+6= -х +;

4у+12= -2х+1; 2х+4у+11=0 (EF).

Для отыскания координат точки М решаем совместно уравнения прямыхEF иCD:

Таким образом, М

Треугольник ABC, высотаCD, медианаАЕ, прямаяEF и точкаМ построены в системе координатхОу на рисунке.