Знакопеременные ряды

Определение.Числовые ряды, члены которых как положительные числа, так и отрицательные, называются знакопеременными.

Знакочередующиеся ряды

являются частным случаем рядов знакопеременных.

Определение.Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то данный знакопеременный ряд называется условно или неабсолютно сходящимся.

Теорема. Если сходится ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, то сходится и данный ряд, называемый в этом случае абсолютно сходящимся.

Теорема Лейбница (достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда) Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда , монотонно убывают и абсолютная величина общего члена ряда стремится к нулю при, то ряд сходится, его сумма положительна и меньше первого члена.

Следствие. При замене суммы ряда частичной суммой мы отбрасываем все члены ряда начиная с, т.е. отбрасываем знакочередующийся ряд, который удовлетворяет признаку Лейбница. Сумма этого ряда по абсолютной величине меньше модуля первого члена ряда, т.е. меньше. Значит, абсолютная величина допущенной ошибки при такой замене на будет меньше абсолютной величины первого члена отброшенной части ряда.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Этот ряд знакопеременный. Исследуем его на абсолютную сходимость. Составляя ряд из абсолютных величин (модулей) членов данного ряда, получим ряд

.

Применим признак Даламбера. Выпишем члены и:

, .

Тогда ,, т.е. рядсходится. Следовательно, исходный рядсходится абсолютно.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определения сходящегося и расходящегося рядов. Исследуйте сходимость ряда, составленного из членов геометрической прогрессии.

2. Докажите необходимый признак сходимости ряда.

3. Докажите, что отбрасывание конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости (расходимости). Покажите, что сумма ряда равна сумме его первых nчленов, сложенной с сумой ряда, полученного из данного отбрасыванием этихnчленов.

4. Докажите теорему о сравнении рядов с положительным членами. Приведите пример применения этого признака.

5. Докажите признак Даламбера сходимости знакопеременных рядов. Приведите пример применения этого признака.

6. Докажите признак Коши сходимости рядов с положительными членами. Приведите пример применения этого признака.

7. Докажите интегральный признак Коши сходимости ряда. Приведите пример применения этого признака.

8. Дайте определение абсолютно сходящегося ряда. Докажите, что из абсолютной сходимости ряда следует его сходимость. Сформулируйте свойства абсолютно сходящихся рядов. Приведите пример абсолютно и условно сходящихся рядов.

9. Докажите признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Приведите пример на применение этого признака. Покажите, что при замене суммы ряда типа Лейбница суммой первых его членов допускаемая абсолютная погрешность не превосходит модуля первого отброшенного члена.

Функциональные и степенные ряды

Рассмотрим ряд

, (7)

где все функции определены в одном и том же промежутке, называемом областью определения ряда. Придавая аргументуопределенные числовые значения, будем получать различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися.

Совокупность тех значений х, при которых функциональный ряд сходится, называется областью его сходимости.

В области сходимости сумма функционального ряда является некоторой функцией от х:

, (8)

где , х принадлежит области сходимости ряда (7).

Разность

(9)

называется n-м остатком ряда.

Так как исследование сходимости функциональных рядов сводится к исследованию сходимости числовых рядов, то для нахождения областей сходимости функциональных рядов можно применять достаточные признаки сходимости числовых рядов. При этом различают области абсолютной и условной сходимости функционального ряда.

Пример. Найти область сходимости степенного ряда

.

Решение. Данный степенной ряд можно записать так:

(*)

Применяем признак Даламбера:

.

Как видно, ряд будет сходиться для тех значений x, для которых

, или, или.

Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала.

При ряд (*) примет вид

(**)

Ряд (**) является знакочередующимся; его общий член по абсолютному значению стремится к нулю при . По признаку Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов заключаем, что ряд (**) сходится. Следовательно, значениепринадлежит области сходимости данного ряда.

Подставив в (*) , получим

(***)

Ряд (***) расходится (для этого достаточно сравнить его с гармоническим рядом). Следовательно, значение не принадлежит области данного ряда. Таким образом,— область сходимости исследуемого ряда.

Пример. Найти область сходимости функционального ряда .

Решение. Рассмотрим ряд . Сравним его с числовым рядом, используя второй признак сравнения. Найдем предел частного общих членов этих рядов при :

.

Следовательно, ряд расходится, так как расходится гармонический ряд. Далее воспользуемся теоремой: если рядрасходится и (с – какое-либо фиксированное число), то ряд также расходится. В данном случае,. Значит, приряд расходится. Привсе члены функционального рядаравны нулю, при , т.е. ряд сходится. Итак, данный ряд расходится при всех х, кроме .

Пример. Найти область сходимости функционального ряда

.

Решение. Воспользуемся признаком Даламбера:

, ;

.

При m < 1 данный ряд будет сходиться, т.е. x² < 1, |x| < 1, –1 < x < 1.

Исследуем границы интервала . При получим ряд, который расходится, так как . Следовательно, областью сходимости данного ряда является интервал .