Задача 2.2. Вычисление определителя

Для вычисления определителя используем те же электронные таблицы Gnumeric. На рис. 2.5 показана матрица А, чей определитель необходимо вычислить.

Вычисление определителя осуществляется функцией

MDETERM (см. рис. 2.6).

После выбора функции на панели «Помощник по формулам» необходимо указать диапазон ячеек, в которых находятся элементы матрицы (рис. 2.7). Это осуществляется при помощи выделения мышкой на рабочем листе.

После нажатия кнопки «ОК» в ячейке В7 появляется результат:

-1 (см. рис. 2.8).

Рис. 2.5. Ввод матрицы и указание ячейки (В7), куда будет по-

мещен результат

58

Рис. 2.6. Выбор функции

Рис. 2.7. Ввод области данных

59

Рис. 2.8. Результат расчета

Задача 2.3. Вычисление обратной матрицы

Для примера используем ту же матрицу (см. рис. 2.9). Для ре-

зультата обязательно следует выделить необходимое место (там же,

ячейки B6:D8). Обратная матрица вычисляется при помощи функции

MINVERSE (рис. 2.10).

Рис. 2.9. Ввод исходной матрицы и выделение места для результата

60

Рис. 2.10. Выбор функции На панели «Помощника по формулам» (рис. 2.11) необходимо

указать диапазон размещения данных (это можно сделать выделени-

ем мышкой на рабочем листе). Обязательно нужно пометить галоч-

кой пункт «Ввести как функцию массива», иначе вместо всей обрат-

ной матрицы будет указан только левый верхний элемент.

61

Рис. 2.11. Ввод параметров формулы После нажатия кнопки «ОК» в выделенных ранее ячейках поя-

вится результат (рис. 2.12).

Рис. 2.12. Результаты расчета Для проверки, ниже показан результат умножения исходной

матрицы на обратную. Как можно видеть, в ячейках C10:E12 нахо-

дится единичная матрица, следовательно, обратная матрица найдена правильно.

62

2.2. Решение систем линейных алгебраических уравне-

ний

Следующий пример, решение систем линейных алгебраиче-

ских уравнений решим дважды. Один раз – при помощи табличного процессора OpenOffice.org Calc, а второй – при помощи программы

Maxima.

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений:

3x1	4x2	3x3	x4	16
2x1		4x3	2x4	6
2x1	x2	3x3	3x4	3
x1	3x2	2x3	3x4	13

Это уравнение можно переписать в матричном виде: AX=B.

			3	4	3	1		16		x1
	Здесь	A	2	0	4	2	; B	6	; X	x2	.
			2	1	3	3		3		x3
			1	3	2	3		13		x4

Домножим матричное уравнение слева на A-1. Получим A- 1AX= A-1B, или EX=A-1B, или X=A-1B. Таким образом, для решения этой системы необходимо найти обратную матрицу и произвести матричное умножение.

63

Задача 2.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений

при помощи табличного процессора OpenOffice.org

Calc

Первое действие – ввод исходных данных, а именно, матриц А и В (рис. 2.13). Кроме этого, целесообразно сразу же выделить место для обратной матрицы, указав положение левого верхнего элемента.

Второе действие – нахождение обратной матрицы. Для этого необходимо использовать функцию обращения матриц MINVERSE.

Вызов функций происходит через «Мастер функций». Для этого сле-

дует нажать комбинацию клавиш «Ctrl»+«F2». Появится соответст-

вующая панель (рис. 2.14).

Последовательность выбора:

-в разделе «Категория» выбирается пункт «Массив»;

-в появившемся списке функций выбирается нужная функция

«MINVERSE»;

- нажимается кнопка «Далее».

64

Рис. 2.13. Ввод исходных данных

Рис. 2.15. Выбор функции при помощи «Мастера функций» После нажатия кнопки «Далее» появляется окно ввода адресов

параметров (рис. 2.16). Диапазон ячеек, в которых находятся элемен-

ты матрицы А (ячейки В1:Е4) целесообразно указать мышкой на ра-

бочем листе.

После проверки, установлена ли галочка в окне «Массив»

(внизу слева), можно нажать кнопку «ОК». На рабочем листе появ-

ляется результат (рис. 2.17).

После нахождения обратной матрицы можно начинать подго-

товку к вычислению вектора неизвестных (рис. 2.18). Указав верх-

нюю ячейку столбца, в котором будут располагаться результат рас-

четов, вызываем нажатием клавиш «Ctrl»+«F2» «Мастер функций», в

котором выбираем функцию умножения матриц MMULT (рис. 2.19).

65

В два окна по очереди вводим диапазоны ячеек в которых на-

ходятся элементы обоих сомножителей (первый – обратная матрица

А-1, второй – вектор свободных коэффициентов В).

Рис. 2.16. Ввод параметров функции

66

Рис. 2.17. Результат вычисления обратной матрицы

67

Рис. 2.18. Подготовка к вычислению вектора неизвестных

Рис. 2.19. Ввод параметров в функцию После нажатия кнопки «ОК» на рабочем листе появятся ре-

зультаты расчета (рис. 2.20): x1=1, x2=2, x3=3, x4=4.

68

Рис. 2.20. Результаты решения системы

Задача 2.5. Решение систем линейных алгебраических уравнений

при помощи программы Maxima

Исходные данные используем те же, что и в задаче 4. Т.е. не-

обходимо решить систему уравнений

3x1	4x2	3x3	x4	16
2x1		4x3	2x4	6
2x1	x2	3x3	3x4	3
x1	3x2	2x3	3x4	13

Первый способ.

Используем специальную функцию solve, которую можно вы-

звать через кнопку «Решить» в нижней части окна программы (рис.

2.21).

69

Рис. 2.21. Панель «Решить» В верхнее окно панели «Решить» обычным текстом, через за-

пятую и без пробелов, вводятся все уравнения (рис. 2.22). В качестве знака умножения используется символ «*».

Рис. 2.22. Ввод уравнений В нижнем окне панели «Решить» вводятся, также через запя-

тую и пробелов, все неизвестные, которые нужно определить. Следу-

ет отметить, что решение может быть не только числовым, но и сим-

вольным.

70

После нажатия кнопки «ОК» в основном окне программы

Maxima появляется решение (рис. 2.23, строка %о1).

Рис. 2.23. Решение системы

Второй способ

Теперь решим эту же систему через матрицы. Попутно освоим матричные операции в среде Maxima.

В нижней строке окна программы (окно «ВВОД») набираем

«A:», а затем через пункты меню «Алгебра»==> «Ввести матрицу»

(рис. 2.24) вызываем панель «Матрица», в которой задаем размер-

ность матрицы 4х4 (рис. 2.25), после чего вводим элементы матрицы

(рис. 2.26).

После ввода всех чисел и нажатия кнопки «ОК» в главном окне программы Maxima будет напечатана матрица А (рис. 2.27).

После этого, аналогично вводим матрицу В (рис. 2.28…2.30).

71

Рис. 2.24. Создание и ввод новой матрицы

Рис. 2.25. Определение	Рис. 2.26. Ввод значений элементов матри-
структуры матрицы	цы

72

Рис. 2.27. Результат ввода Рис. 2.28. Определение матрицыматрицы системы A столбца

73

Рис. 2.29. Ввод матрицы B

После ввода матрицы В, печатаем «C:A^^-1;» и получаем об-

ратную матрицу (рис. 2.31).

Примечание: для нахождения обратной матрицы следует ис-

пользовать команду «^^-1».

Окончательно найдем решение, умножив матрицы C и B: для этого напечатаем «X:C.B;» (рис. 2.32).

Примечание: матричное умножение задается обычной точкой.

Как видим, опять получили то же самое решение.

74

Рис. 2.30. Матрица	Рис. 2.31. Обратная матРис. 2.32. Решение
В	рица

75