Задача 5.6. Формирование портфеля ценных бумаг

Формирование портфеля ценных бумаг. Модель Марковица.

Минимизация риска при ограничении доходности снизу Постановка задачи. Инвестор может вложить определенную

сумму денег в приобретение пакетов акций нескольких (n) компаний.

На основании анализа рынка и характеристик ценных бумаг было ус-

тановлено, что средние значения ставок дохода равны соответствен-

но mi, i=1…n, а их стандартные отклонения (которые, собственно, и

являются риском ценной бумаги) - i, i=1…n. Также необходимо знать зависимости характеристик ценных бумаг друг от друга, кото-

рые выражаются через ковариационную матрицу (COV) или матрицу коэффициентов парной корреляции (R=||rij||, i, j=1…n).

Тогда доходность (или эффективность) портфеля ценных бу-

маг определяется как

n

mp xi mi .

i 1

Риск портфеля (или стандартное отклонение ставок дохода по портфелю) рассчитывается следующим образом:

p	2	XT	COV X
	p
									.
	n		n 1	n
	x2	2	2		x	x	j	r
	i	i			i			ij i j
	i 1		i 1	j i	1

Здесь и выше вектор XT=(x1, x2, …, xn) – вектор долей инвести-

ций, помещенных в каждый из видов актива (портфельные веса).

В модели Марковица допустимыми являются только стандарт-

ные портфели (без коротких позиций). Это приводит к следующим ограничением:

n

xi 1, xi 0 i .

i 1

173

Теперь можно сформулировать задачу.

Сформировать портфель минимального риска с доходностью не менее 8% из ценных бумаг трех типов. Исходные данные приве-

дены ниже (см. табл. 5.5, табл. 5.6).

Таблица 5.5.

Параметры ценных бумаг
Наименование	ABC	CDE	EFG
Доходность, mi
(%)	12	7	11
Риск, σi	25	10	20

Таблица 5.6.

Матрица коэффициентов корреляции

ABC

CDE

EFG

ABC

1

0,52

0,27

CDE

0,52

1

0,75

EFG

0,27

0,75

1

Целевая функция имеет вид:

p

2

XT

COV X

p

n

n 1

n

x2

2

2

x

x

j

r

j

min

i

i

i

ij i

i

1

i 1

j i 1

Ограничения:

12

x1

7

x2

11 x3

8

x1

x2

x3

1

x1 , x2 , x3

0

174

Решение будем искать в табличном процессоре Excel при по-

мощи мастера поиска решений. Причина выбора MS Excel заключа-

ется в том, что только эти электронные таблицы имеют встроенные алгоритмы нелинейного программирования.

Шаги решения следующие.

1)Формируем таблицы 5.5 и 5.6.

2)Резервируем место для изменяемых переменных x1, x2, x3.

3)Транспонируем строку изменяемых переменных.

4)Рассчитываем матрицу ковариаций по формуле

COVij ij rij i j

5) Вычисляем дисперсию портфеля как функцию трех пере-

менных (x1, x2, x3):

n

n 1

n

D 2

x2

2

2

x

i

x

j

r

j

XT COV X

i

i

ij i

i 1

i 1

j i

1

6) Вычисляем риск портфеля , который в данной задаче опре-

деляет целевую функцию (требуется минимизировать риск)

На рис. 5.33 представлен общий вид рабочего листа.

На рис. 5.34 представлены все введенные формулы.

После подготовки данных вызываем мастер поиска решения через пункты меню «Данные» ==> «Поиск решения». Появляется па-

нель «Поиск решения» (рис. 5.35).

Встроке «Установить целевую ячейку» указываем адрес В27 –

вней находится формула расчета дисперсии портфеля.

Помечаем «Равной минимальному значению».

В окне «Изменяя ячейки» указываем адреса переменных

(B14:D14).

Далее, каждый раз нажимая кнопку «Добавить», вводим огра-

ничения (панель ввода представлена на рис. 5.36). После ввода по-

175

следнего ограничения нажимаем кнопку «Выполнить». Появляется информационное окно о нахождении решения (рис. 5.37).

Богатые возможности отчетов мастера поиска решений мы по-

ка рассматривать не будем.

После нажатия кнопки «ОК» на рабочем листе появляются чи-

словые данные решения (рис. 5.38).

176

Рис. 5.33. Подготовка исходных данных и формул.

Рис. 5.34. Расчетные формулы.

177

Рис. 5.35. Установка параметров мастера поиска решения.

Рис. 5.36. Панель ввода ограничений.

Рис. 5.37. Информационное сообщение.

Рис. 5.38. Результаты решения.

178