4.2. Задачи математической статистики
Задача 4.5. Расчет доверительных интервалов.
Дана выборка объемом n=48 значений недельного оборота от-
деления банка (в млн.руб.). Вычислить среднее значение X ср , сред-
нее квадратическое отклонение S . Оценить математическое ожида-
ние MX и дисперсию DX генеральной совокупности. Доверитель-
ная вероятность равна 0.95.
Исходные данные:
18,587 20,653 16,264 16,997 16,046 18,804 22,564 20,557
16,279 21,706 18,074 19,637 20,640 18,668 16,481 18,930
22,414 21,574 22,536 18,754 22,741 18,507 21,135 22,347
19,507 23,115 22,447 21,590 18,738 16,642 22,545 19,112
16,163 21,955 17,981 18,589 17,923 16,986 22,610 18,926
19,907 22,603 22,828 17,414 19,131 22,328 16,406 16,974
Решение.
Введем исходные данные в электронные таблицы Gnumeric в
первый столбец. В качестве десятичного разделителя эта программа,
по умолчанию использует запятую.
После ввода всех чисел найдем основные статистические ха-
рактеристики выборки. Для этого последовательно выбираем пунк-
ты меню: «Сервис»==>«Статистический анализ»==> «Описательные статистики» (см. рис. 4.5).
Появляется панель ввода данных (рис. 4.6). При нажатии на кнопку слева в строке ввода происходит выход в текущий лист ра-
бочей книги и манипулятором «Мышь» следует выделить ячейки с исходными данными (рис. 4.7). Можно также явно указать диапазон ячеек.
107
После ввода диапазона ячеек с данными следует указать место для вывода таблицы с результатами расчета. Автор рекомендует вы-
бирать тот же рабочий лист, следует указывать ячейку, правее и ни-
же которой нет никаких нужных данных (рис. 4.8).
Рис. 4.5. Выбор функции статистического анализа После нажатия кнопки «ОК» появится таблица с рассчитан-
ными значениями статистических характеристик выборки (рис. 4.9).
Для оценки интервала, в котором может находиться ма-
тематическое ожидание, используется распределение Стьюдента.
Число степеней свободы k n 1 47 ; доверительная вероят-
ность 
0.95.
Квантиль распределения Стьюдента найдем при помощи функ-
ции TINV (рис. 4.10). Ввод параметров в функцию представлен на рис. 4.11.
Результаты расчета представлены на рис. 4.12.
Доверительный интервал определяется по формуле
108
x tk , |
S |
|
MX x tk , |
S |
|
, что показано на рис. 4.13. |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
n |
|
n |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 4.6. Панель ввода данных функции описательных статистик
Рис. 4.7. Выделение ячеек, в которых находятся данные
109
Рис. 4.8. Выбор места вывода расчетных данных
Рис. 4.9. Таблица с результатами расчета.
110
Рис. 4.10. Обратное двустороннее распределение Стьюдента
111
Рис. 4.11. Ввод параметров в функцию
Рис. 4.12. Результаты расчета
Рис. 4.13. Доверительный интервал для математического ожидания Для оценки доверительного интервала дисперсии следует ис-
пользовать распределение Пирсона.
Число степеней свободы k n 2 46 ; вспомогательные веро-
ятности: |
|
1 |
0,975; |
|
1 |
|
0,025. |
|
|||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
2 |
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найдем квантили распределения Пирсона: |
|
||||||||||
2 |
: P( 2 |
2 ) |
; |
2 |
: P( 2 |
2 ) |
2 |
||||
1 |
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
2 |
|
Для этого используем функцию R.QCHISQ (рис. 4.14).
112
Ввод ее параметров показан на рис. 4.15. Т.к. необходимо вы-
числить значения для двух вероятностей, то и процедуру следует по-
вторить два раза. Полученные числа находятся в ячейках D20, D21
(рис. 4.16).
Далее, по формуле |
n |
S 2 |
DX |
n S 2 |
вычислим доверитель- |
|
2 |
2 |
|||
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
2 |
|
ный интервал для дисперсии (рис. 4.16, ячейки C23:E23).
Рис. 4.14. Функция распределения Пирсона
113
Рис. 4.15. Ввод параметров функции распределения Пирсона
Рис. 4.16. Результаты расчета доверительного интервала дисперсии
114