Задача 4.4. Нормальное распределение.

Известно, что средняя выручка торговой точки имеет нормаль-

ное распределение с математическим ожиданием MX=125000 руб. и

дисперсией DX=(25000 руб.)2. Найти вероятность того, что выручка в некоторый день превзойдет 140000 руб.

Решение. Для решения используем нормальную функцию рас-

пределения, которая имеет вид:

1

x0

(x

MX )

2

F (x0 ) P(

x0 )

exp

dx .

2

2

2

Если сделать замену t

x MX

и t0

x0

MX

, то получим:

1

t0

t

2

F (x0 )

exp

dt

(t0 )

- интеграл Лапласа.

2

2

В данном случае, нам необходимо найти вероятность того, что случайная величина больше некоторой границы:

			1		x0	(x	MX )	2
	p 1				exp				dx
							2
			2			2

Найдем эту вероятность с помощью программы Maxima и

электронных таблиц Gnumeric.

1). Maxima

Вычислим вспомогательный параметр t, как показано выше:

Используя функцию integrate, вычислим вероятность того, что случайная величина будет ограничена сверху:

103

Последний шаг – вычисление искомой вероятности:

2). Gnumeric

Рис. 4.1. Подготовка к решению в таблицах Gnumeric

Для вычисления функции нормального распределения исполь-

зуется встроенная функция normdist (рис. 4.2).

104

Рис. 4.2. Функция NORMDIST

После нажатия кнопки «Вставка» появляется окно ввода пара-

метров (рис. 4.3). По очереди мышкой указываем ячейки, в которых находятся нужные значения: x – верхний предел интеграла; mean –

математическое ожидание; stddev – среднее квадратическое отклоне-

ние; cumulative - 0, если требуется вычислить только функцию плот-

ности вероятностей (подынтегральная функция); 1 – если требуется вычислить функцию распределения (именно это нам и нужно).

105

Рис. 4.3. Окно ввода параметров После ввода параметров функции получаем результат (рис.

4.4). Для окончательного решения вычитаем полученное значение из единицы.

Рис. 4.4. Результаты расчетов

Ответ: искомая вероятность равна 0.274.

106