Иногда возникает задача с целочисленными переменными, на-

пример, когда необходимо распределить людей по объектам (невоз-

можно поставить за прилавок 0,5 продавца или направить 1,3 курье-

ра).

Такая задача является предметом рассмотрения разделом ли-

нейного программирования «целочисленное программирование».

И, наконец, возможны ситуации, когда либо целевая функция,

либо ограничения, либо и то и другое вместе являются нелинейными.

Эта задача – предмет дисциплины «нелинейное программирование».

В частности, к таким задачам относятся задачи формирования порт-

феля ценных бумаг.

5.3. Задачи экономического моделирования

Задача 5.1. Система массового обслуживания.

В цехе имеется два станка для обработки корпусных деталей.

Интенсивность поступления деталей на обработку равна =6 дет/час,

а интенсивность обработки деталей каждым станком равна =4

дет/час. Нарисовать графы состояний и вычислить: коэффициент ис-

пользования оборудования, среднее число занятых станков, среднее число деталей в очереди, среднее время пребывания детали в цехе,

вероятности состояний, если:

а) имеется накопитель на две детали;

б) емкость накопителя не ограничена.

Решение.

На рис. 5.4 и рис. 5.5 представлены диаграммы состояний для первого и второго случаев соответственно.

140

0

1

2

3

4

Рис. 5.4. СМО с очередью (накопителем) на две заявки (детали) и

двумя обслуживающими аппаратами (станками)

... ...

0

1

2

3

...

n ...

... ...

Рис. 5.5. СМО с неограниченной очередью (накопителем) и двумя обслуживающими аппаратами (станками)

1). Накопитель с ограниченной емкостью.

В соответствии с общей теорией имеем: p							p	i	1	.
					i		i 1
								i
Так как у нас два станка и две позиции в накопителе, то интен-
сивность поступления:	0	1	2	3	4	;	i	0		i 4 .

Это следует из того, что интенсивность поступления деталей

на обслуживание постоянна, но если заняты оба станка и оба места в накопителе, то детали не поступают в систему.

Интенсивность обслуживания:

1	;	2	2 ;	3	2 ;	4	2 ;	5	... 0 .

Это объясняется тем, что интенсивность обслуживания кратно

количеству занятых одновременно станков. Если деталь одна, то 1

141

= , если деталей больше, то	i	2 , т.к. станков всего два и

на обслуживании одновременно может быть не более двух деталей.

Далее имеем:

; p p , p			1	p		2 , p	1 3		, p		1	4 .
							22				23
1	0	2	2		0	3				4

Сумма всех вероятностей (в том числе и p0 ) равна 1, т.е.

p0	1	1	2		1			3	1				4	1.
		2			22				23
Отсюда: p0									1								.
			1			1		2		1			3		1	4
					2				2		2			23

Вычислим это в Maxima.

Итак, p0=0.196.

Подставляя это значение, вычислим остальные вероятности:

142

Число занятых станков: N p1 2 p2 2 p3 2 p4 .

Итак, среднее число занятых станков равно N=1,314. Число деталей в системе: m p1 2 p2 3 p3 4 p4

Число деталей в очереди: K p3 2 p4

Время пребывания в цехе равно: T	m	.

2). В случае неограниченности емкости очереди

i	i,	i	2	i 2,	1	.

Вероятности любого состояния не будут равны нулю. Условие

нормировки здесь: pi 1.

i 0

143

				i
	Тогда p 0 1	2		1
			2
		i 2

Вычислим необходимые величины:

Исходя из общей теории, далее получаем:

Среднее число деталей в системе:

						i
	m	i pi p0	2	i		.
					2
	i	1	i	2

Последовательно вычисляем:

Вычисление не происходит. Определим тогда функцию:

Вычислим несколько значений:

144

Как видно, скорость сходимости ряда большая, возьмем его значение Y=11,25:

Далее:

Среднее число занятых станков: N 2 2 p0 p1:

Среднее число деталей в очереди: K m N :

Время пребывания в цехе равно: T	m	:

Ответ:

а) p0 , p1, p2 , p3, p4 равны: 0.196, 0.294, 0.221, 0.165, 0.124;

число занятых станков N = 1.314;

число деталей в системе m = 1.727;

число деталей в очереди K = 0.413;

коэффициент использования (N/2)= 0.657;

время пребывания в цехе= 0.288.

б) p0 равно: 0.143;

число занятых станков = 1.5;

число деталей в системе = 3.428; 145