5.1.2. Основные характеристики помехоустойчивых кодов

Избыточность кода. Выше показано, что корректирующие свойства кода определены условием. Длина кодовой комбинации может быть определена, как. Для того, чтобы создатьNразличных комбинаций, достаточно иметь число двоичных независимых переменных, равных. Итак, в каждую кодовую комбинацию помехоустойчивого кода введенодополнительных символов, для того, чтобы получитьзапрещенных комбинаций.

Установление однозначного соответствия между к – элементными комбинациями простого кода и n– элементными комбинациями корректирующего кода и составляетпроцесс кодирования. Эта операция осуществляется в кодере передатчика устройства защиты от ошибок (УЗО).

Таким образом, в каждой кодовой комбинации помехоустойчивого кода, наряду с kсимволами, несущими информацию источника сообщений(информационные символы), имеетсяmсимволов, обеспечивающих коду корректирующие свойства (избыточные символы). Если местоположение информационных и избыточных символов в кодовой комбинации известно, то код принято называтьразделимым. В противном случае код называютнеразделимым.

Вводимая в кодовую комбинацию избыточность оценивается либо числом избыточных символов m(абсолютная избыточность), либо отношением(скорость или коэффициент передачи кода).

Под весом кодовой комбинации двоичного кода принято понимать количество элементов со значением “I” в данной комбинации. В качестве меры удаленности одной кодовой комбинации от другой используют кодовое расстояние (расстояние Хэмминга).

Кодовое расстояниемежду двумя комбинациями определяется числом символом, в которых эти комбинации отличаются. Кодовое расстояние принято обозначать буквойd. Для двоичных кодов расстояние между двумя комбинациями, напримери, можно определять как вес результата поразрядного сложения элементов этих комбинаций по модулю 2:

.

Минимальное кодовое расстояние (d_min)между различными парами кодовых комбинаций может быть использовано для оценки корректирующих свойств кода, предназначенного для обнаружения или исправления многократных ошибок.

Пусть sозначаеткратность (число) гарантийно обнаруживаемых кодом ошибок, аtесть кратность гарантийно исправляемых ошибок. Если код используется только для обнаружения ошибок, то для того, чтобы обнаружить все варианты изs или менее ошибок в кодовой комбинации, необходимои достаточно иметь минимальное кодовое расстояние равным.

Действительно, если минимальное расстояние равно s+1(рис. 5.3а),то никакой вариантS– кратной ошибки не может перевести передаваемую комбинацию в разрешенную, в то время как при минимальном расстоянии, существует хотя бы одна пара комбинаций, отстоящих друг от друга на расстоянии меньшем или равном,sи найдется такой вариантs- кратной ошибки, который трансформирует одну из этих комбинаций в другую.

Аналогично исправление всех tи менее кратных ошибок возможно тогда и только тогда, если. В этом случае в защитную зону каждой кодовой комбинации входят все запрещенные комбинации, отличающиеся от нее всимволах и менее(рис. 5.3б).Любая комбинация сошибками отличается от переданной всимволах, а от другой кодовой комбинации всимволах потому будет отождествлена декодером приемника УЗО с переданной комбинацией. Если же, то возможен хотя бы один случай, когда ошибка кратностиtтрансформирует переданную комбинацию в такую запрещенную комбинацию, которая столь же близка к одной из непередававшихся разрешенных комбинаций, как и к переданной.

Аналогичными рассуждениями можно показать, что для одновременного исправления всех ошибок кратности до включительно и обнаружения всех ошибок кратности до, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие(рис.5.3в).

а) Минимальное кодовое расстояние для кода, гарантийно обнаруживающего S-кратные ошибки

б) Минимальное кодовое расстояние для кода, гарантийно исправляющего t-кратные ошибки

в) Минимальное кодовое расстояние для кода, гарантийно обнаруживающего ошибки кратности до S' и исправляющего V кратные ошибки

Рис 5.3