- •Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им.Проф. М.А. Бонч-Бруевича в.М. Охорзин
- •Санкт-Петербург
- •Тема 1. Основные понятия и определения в области пдс
- •1.1.Дискретность
- •Соответствующие виды сигналов:
- •1.2.Модуляция
- •1.3.Кодирование
- •1.4.Упрощенная структурная схема аппаратуры пдс.
- •Модулятор – устройство, осуществляющее модуляцию. Демодулятор осуществляет обратное преобразование. Совокупность модулятора и демодулятора образует модем.
- •1.5. Основные параметры и характеристики системы пдс
- •Тема 2. Системные характеристики систем передачи дискретных сообщений 2.1 Понятие об эталонной модели взаимодействия открытых систем
- •2.2. Понятие о телеуслугах
- •2.3 Первичные коды в системах пдс
- •2.3.1. Телеграфные коды
- •2.3.2. Коды для передачи данных
- •Тема 3. Основные характеристики уровня дискретногоканаласистем пдс
- •3.1. Понятие об искажениях дискретных сигналов
- •3.1.1. Классификация искажений
- •3.1.2.Характеристические краевые искажения
- •3.1.3 Краевые искажения типа преобладаний
- •3.1.4.Случайные искажения
- •3.2.Понятие о методах регистрации дискретных сигналов
- •3.2.1.Метод стробирования
- •3.2.2. Интегральный метод
- •Интегрирование в промежутке, меньшем длительности элементарной посылки
- •3.3 Оценка эффективности методов регистрации
- •3.3.1.Распределение краевых искажений
- •3.3.2. Распределение дроблений
- •3.3.3. Расчет вероятности ошибки при краевых искажениях
- •3.3.4.Расчет вероятности ошибки при дроблениях
- •3.4.Модели дискретных каналов
- •3.4.1.Поток ошибок в дискретном канале
- •3.4.2.Методы выявления и исследования последовательностей ошибок
- •3.4.3 Основные закономерности распределения ошибок в реальных каналах связи
- •3.4.4 Математические модели дискретных каналов с группированием ошибок
- •А. Модель неоднородного канала.
- •Б. Двухпараметрическая модель дискретного канала
- •Тема 4. Устройство синхронизации по элементам (усп).
- •4.1.Назначение и классификация
- •Основные элементы устройства , реализующего фапч:
- •4.2. Необходимость поэлементной синхронизации . Расчет времени удержания синхронизма.
- •4.3.Схема фапч с дискретным управлением.
- •4.4.Основные характеристики системы фапч.
- •Тема 5. Линейные (n,k)-коды
- •5.1. Определение помехоустойчивых кодов и их общие характеристики
- •5.1.1. Принципы построения помехоустойчивых кодов
- •5.1.2. Основные характеристики помехоустойчивых кодов
- •5.1.3 Классификация помехоустойчивых кодов
- •5.1.4.Граничные соотношения между характеристиками помехоустойчивых кодов
- •5.1.5.Задачи
- •5.2. Групповые коды и способы их описания
- •5.2.1. Основные алгебраические системы, используемые в теории кодирования
- •5.2.2. Способы представления кодовых комбинаций
- •5.2.3. Определение группового кода
- •5.2.4. Матричное описание групповых кодов
- •5.2.5. Задачи
- •5.3. Другие свойства групповых кодов
- •5.3.1. Корректирующие свойства групповых кодов
- •5.3.2. Процедуры кодирования и декодирования для группового кода
- •5.3.3. Укорочение кода
- •5.3.4. Оценка эффективности групповых кодов
- •5.3.5. Смежно-групповые коды
- •5.3.6. Задачи
- •5.4. Примеры групповых кодов
- •5.4.1. Коды с единственной проверкой на четность
- •5.4.2. Коды Хэмминга
- •5.4.3. Итеративные коды.
- •5.4.4 Задачи
- •Тема 6. Двоичные циклические (n,k) - коды
- •6.1. Основные алгебраические системы, используемые в теории кодирования.
- •6.2. Определение циклического кода
- •6.3. Построение порождающей и проверочной матриц циклических кодов.
- •6.4. Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема (бчх).
- •6.5. Выбор порождающего многочлена для кода бчх
- •6.6. Эффективность двоичных кодов бчх
- •6.6.1. Задачи
- •6.7. Кодирующие и декодирующие устройства циклических кодов
- •6.7.1 Процедура кодирования и декодирования для циклических кодов
- •6.7.2. Линейные переключательные схемы, используемые в кодирующих и декодирующих устройствах циклических кодов
- •6.7.3. Схемы кодирующих устройств циклических кодов
- •6.7.4. Декодирующие устройства циклических кодов
- •6.7.5. Задачи
- •Тема 7. Коды Рида- Соломона (рс)
- •7.1. Определение и основные свойства
- •Пример 7.1
- •Пример 7.2
- •7.1.1. Расширенные рс-коды
- •Пример 7.3
- •7.1.2. Укороченные рс-коды
- •7.1.3. Отображение рс-кодов над gf(2m) на двоичные коды
- •7.1.4. Способы кодирования и декодирования рс-кодов
- •1. Многочлен локаторов ошибок:
- •2.Синдромный многочлен
- •3. Многочлен значений ошибок
- •7.2. Быстрое декодирование кодов бчх
- •7.2.1. Ключевое уравнение
- •7.2.2. Решение ключевого уравнения
- •7.2.3. Примеры решения ключевого уравнения
- •7.3.Кодирование на основе решения ключевого уравнения
- •7.4.Задачи
- •Тема 8. Непрерывные коды
- •8.1. Сверточное кодирование
- •8.2. Представление сверточного кодера
- •8.2.1. Представление связи
- •8.2.1.1. Реакция кодера на импульсное возмущение
- •8.2.1.2. Полиномиальное представление
- •8.2.2. Представление состояния и диаграмма состояний
- •8.2.3. Древовидные диаграммы
- •8.2.4. Решетчатая диаграмма
- •8.3. Формулировка задачи сверточного декодирования
- •8.3.1. Алгоритм сверточного декодирования Витерби
- •8.3.2. Пример сверточного декодирования Витерби
- •8.4. Декодирование с мягким решением
- •8.4.1. Модель канала с абгш
- •2.1.2. Передача двоичных сигналов по каналам с абгш
- •2.1.3. Алгоритм Витерби с Евклидовой метрикой
- •8.5. Связь с блоковыми кодами
- •8.5.1. Терминированная конструкция (нулевой хвост)
- •8.5.2. Усеченная конструкция (direct truncation)
- •8.5.3. Кольцевая (циклическая или циклически замкнутая) (tail-biting) конструкция
- •8.5.4. Распределение весов
- •8.6. Модифицированный граф состояний
- •8.7. Решение задач
- •8.7.1. Задачи
- •8.7.2. Решение
- •8.3.2.1. Процедура сложения, сравнения и выбора
- •8.3.2.2. Вид процедуры сложения, сравнения и выбора на решетке
- •8.3.3. Память путей и синхронизация
- •8.4. Свойства сверточных кодов
- •8.4.1. Пространственные характеристики сверточных кодов
- •8.4.1.1. Возможности сверточного кода в коррекции ошибок
- •8.4.2. Систематические и несистематические сверточные коды
- •8.4.3. Распространение катастрофических ошибок в сверточных кодах
- •8.4.4. Границы рабочих характеристик сверточных кодов
- •8.4.5. Эффективность кодирования
- •8.4.6. Наиболее известные сверточные коды
- •8.5. Задачи
- •Тема 9. Некоторые специальные классы кодов. Составные коды
- •9.1. Коды для исправления пачек ошибок
- •9.2. Коды на основе последовательностей максимальной длины
- •9.3. Коды для асимметричных каналов
- •9.3.1. Коды с постоянным весом
- •9.3.2. Коды Бергера
- •9.4 Каскадные коды
- •9.4.1. Принципы построения каскадных кодов
- •9.4.2. Режимы использования каскадных кодов
- •9.4.3. Построение двоичных каскадных кодов на основе кодов Рида–Соломона и Боуза–Чоудхури–Хоквингема
- •Пример 9.2.
- •Пример 9.3.
- •9.5. Задачи
- •Тема 10. Цикловая синхронизация
- •10.1 Назначение и классификация способов цикловой синхронизации
- •10.2. Способ установки фазы приемного распределителя путем сдвига.
- •10.3. Способ мгновенной установки фазы
- •10.3.1. Маркерный способ цикловой синхронизации на основе синхронизирующих кодовых последовательностей
- •10.4 . Способ выделения сигнала фазового запуска по зачетному отрезку
- •Тема 11. Системные методы защиты от ошибок без обратной связи
- •11.1. Классификация и основные характеристики систем повышения достоверности
- •11.1.1. Теоретические основы системных методов защиты от ошибок
- •11.1.2. Классификация системных методов защиты от ошибок
- •11.1.3 .Основные параметры и характеристики систем повышения достоверности
- •11.2. Методы повышения достоверности в однонаправленных системах
- •11.2.1.Однонаправленные системы с многократным повторением сообщений
- •11.2.2.Однонаправленные системы с исправляющим ошибки кодом
- •11.2.3.Однонаправленные системы с исправлением стираний
- •11.3. Задачи
- •Тема 12. Системные методы защиты от ошибок с обратной связью
- •12.1. Системы повышения достоверности с решающей обратной связью с непрерывной последовательной передачей сообщений и блокировкой (рос-пПбл).Общие положения
- •12.2. Описание работы системы рос-пПбл
- •12.3. Режим переспроса
- •12.4. Расчет параметров системы рос-пПбл Относительная скорость передачи
- •Расчет вероятности ошибок на выходе системы
- •12.5. Рекомендации по выбору оптимального кода
- •Охарактеризуем поток ошибок, пропущенных в приемник сообщений средней вероятностью ошибки на бит, равной и показателем группирования ошибок.
- •12.6. Выбор порождающего многочлена
- •12.7. Задачи
- •Приложение 1. Коды бчх
- •Приложение 4
- •Список использованных источников
- •Предметный указатель
- •Тема 1. Основные понятия и определения в области пдс………………..……....2
- •Тема 2. Системные характеристики систем передачи дискретных сообще……...11
- •Тема 3. Основные характеристики уровня дискретного канала пдс…………………21
- •Тема 4. Устройство синхронизации по элементам (усп)…………………………...50
- •Тема 5. Линейные (n,k)-коды…….………………………………………………………..54
- •Тема 6. Двоичные циклические (n,k) – коды…………………………………… …….105
- •Тема 7. Коды Рида- Соломона (рс)…………………………………………..………..165
- •7.1.3. Отображение рс-кодов над gf(2m) на двоичные коды…………………….170
- •Тема 8. Непрерывные коды……………………………………………..………………..185
- •Тема 9. Некоторые специальные классы кодов. Составные коды………………..……210
- •9.4.1. Принципы построения каскадных кодов…………………………………………………215
- •9.4.2. Режимы использования каскадных кодов……………………………………………….218
- •9.4.3. Построение двоичных каскадных кодов на основе кодов Рида–Соломона и Боуза–Чоудхури–Хоквингема………………..……………………………………………….…219
- •Тема 11. Системные методы защиты от ошибок без обратной связи………………..……234
- •Тема 12. Системные методы защиты от ошибок с обратной связью…..…………….244
8.4. Свойства сверточных кодов
8.4.1. Пространственные характеристики сверточных кодов
Рассмотрим пространственные характеристики сверточных кодов в контексте простого кодера (рис. 8.3) и его решетчатой диаграммы (рис. 8.7). Мы хотим узнать расстояния между всеми возможными парами последовательностей кодовых слов. Как и в случае блочных кодов, нас интересует минимальное расстояние между всеми такими парами последовательностей кодовых слов в коде, поскольку минимальное расстояние связано с возможностями коррекции ошибок кода. Поскольку сверточный код является групповым или линейным, можно без потери общности просто найти минимальное расстояние между последовательностью кодовых слов и нулевой последовательностью. Другими словами, для линейного кода данное контрольное сообщение окажется точно таким же "хорошим", как и любое другое. Так почему бы не взять то сообщение, которое легко проследить, а именно нулевую последовательность? Допустим, что на вход передана нулевая последовательность; следовательно, нас интересует такой путь, который начинается и заканчивается в состоянии 00 и не возвращается к состоянию 00 нигде внутри пути. Всякий раз, когда расстояние любых других путей, которые сливаются с состоянием а = 00 в момент ti, окажется меньше расстояния нулевого пути, вплоть до момента ti, будет появляться ошибка, вызывая в процессе декодирования отбрасывание нулевого пути. Иными словами, при нулевой передаче ошибка возникает всегда, когда не выживает нулевой путь. Следовательно, ошибка, о которой идет речь, связана с выживающим путем, который расходится, а затем снова сливается с нулевым путем. Может возникнуть вопрос, зачем нужно, чтобы пути сливались? Не будет ли для обнаружения ошибки достаточно лишь того, чтобы пути расходились? В принципе, достаточно, но если ошибка характеризуется только расхождением, то декодер, начиная с этой точки, будет выдавать вместо оставшегося сообщения сплошной "мусор". Мы хотим выразить возможности декодера через число обычно появляющихся ошибок, т.е. хотим узнать "самый легкий" для декодера способ сделать ошибку. Минимальное расстояние для такой ошибки можно найти, полностью изучив все пути из состояния 00 в состояние 00. Итак, давайте сначала заново начертим решетчатую диаграмму, как показано на рис. 8.14, и обозначим каждую ветвь не символом кодового слова, а ее расстоянием Хэмминга от нулевого кодового слова. Расстояние Хэмминга между двумя последовательностями разной длины можно получить путем их сравнивания, т.е. прибавив к началу более короткой последовательности нужное количество нулей. Рассмотрим все пути, которые расходятся из нулевого пути и затем в какой-то момент снова сливаются в произвольном узле. Из диаграммы на рис. 8.14 можно получить расстояние этих путей до нулевого пути. Итак, на расстоянии 5 от нулевого пути имеется один путь; этот путь отходит от нулевого в момент t1 и сливается с ним в момент t4.. Точно так же имеется два пути с расстоянием 6, один отходит в момент t1 и сливается в момент t5 а другой отходит в момент t1 и сливается в момент t6 и т.д. Также можно видеть (по пунктирным и сплошным линиям на диаграмме), что входными битами для расстояния 5 будут 1 0 0; от
нулевой входной последовательности эта последовательность отличается только одним битом. Точно так же входные биты для путей с расстоянием 6 будут 1 1 0 0 и 1 0 1 0 0; каждая из этих последовательностей отличается от нулевого пути в двух местах. Минимальная длина пути из числа расходящихся, а затем сливающихся путей называется минимальным просветом (minimum free distance), просветом или свободным расстоянием (free distance). Его можно видеть на рис. 8.14, где он показан жирной линией. Оценка возможностей кода по коррекции t ошибок, определяется известным уравнением с заменой минимального расстояния dmin на просвет (свободное расстояние) df
Здесь [x] означает наибольшее целое, не большее х. Положив df = 5, можно видеть, что код, описываемый кодером на рис. 8.3, может исправить две любые ошибки канала.
Решетчатая диаграмма представляет собой "правила игры". Она является как бы символическим описанием всех возможных переходов и соответствующих начальных и конечных состояний, ассоциируемых с конкретным конечным автоматом. Эта диаграмма позволяет взглянуть глубже на выгоды (эффективность кодирования), которые дает применение кодирования с коррекцией ошибок. Взглянем на рис. 8.14 и на возможные ошибочные расхождения и слияния путей. Из рисунка видно, что декодер не может сделать ошибку произвольным образом. Ошибочный путь должен следовать одному из возможных переходов. Решетка позволяет нам определить все такие доступные пути. Получив по этому пути кодированные данные, мы можем наложить ограничения на переданный сигнал. Если декодер знает об этих ограничениях, то это позволяет ему более просто (используя меньшее значение сигнал/помеха - Eb/N0) удовлетворять требованиям надежной безошибочной работы.
Хотя на рис. 8.14 представлен способ прямого вычисления просвета, для него можно получить более строгое аналитическое выражение, воспользовавшись для этого диаграммой состояний, изображенной на рис. 8.5. Для начала обозначим ветви диаграммы состояний как D0= 1, D1 или D2, как это показано на рис. 8.15, где показатель D означает расстояние Хэмминга между кодовым словом этой ветви и нулевой ветвью. Петлю в узле а можно убрать, поскольку она не дает никакого вклада в пространственные характеристики последовательности кодовых слов относительно нулевой последовательности. Более того, узел а можно разбить на два узла (обозначим их а и е), один из них представляет вход, а другой — выход диаграммы состояний. Все пути, начинающиеся из состояния а = 00 и заканчивающиеся в е = 00, можно проследить на модифицированной диаграмме состояний, показанной на рис. 8.15. Передаточную функцию пути a b c e (который начинается и заканчивается в состоянии 00) можно рассчитать через неопределенный "заполнитель" D как D2DD2 = D5. Степень D — общее число единиц на пути, а значит, расстояние Хэмминга до нулевого пути. Точно так же пути a b d
c e и a b c b e e имеют передаточную функцию D6 и, соответственно, расстояние Хэмминга, равное 6, до нулевого пути. Теперь уравнения состояния можем записать следующим образом:
Xb = D2Xa+Xc,
Xc = DXb+DXd,
Xd = DXb+DXd,
Xe = D2Xc.
Здесь Хa, ..., Хе являются фиктивными переменными неполных путей между промежуточными узлами. Передаточную функцию кода, T(D), которую иногда называют производящей функцией кода, можно записать как T(D) = Xe/Xa. Решение уравнений состояния имеет следующий вид:
Передаточная функция этого кода показывает, что имеется один путь с расстоянием 5 до нулевого вектора, два пути — с расстоянием 6, четыре — с расстоянием 7. В общем случае существуют 2l пути с расстоянием l + 5 до нулевого вектора, причем l = 0, 1, 2, ... . Просвет df кода является весовым коэффициентом Хэмминга слагаемого, имеющего наименьший порядок в разложении T(D). В данном случае df = 5. Для оценки пространственных характеристик при большой длине кодового ограничения передаточную функцию T(D) использовать нельзя, поскольку сложность T(D) экспоненциально растет с увеличением длины кодового ограничения.
С помощью передаточной функции кода можно получить более подробную информацию, чем при использовании лишь расстояния между различными путями. В каждую ветвь диаграммы состояний введем множитель L так, чтобы показатель L мог служить счетчиком ветвей в любом пути из состояния а = 00 в состояние е = 00.
Более того, мы можем ввести множитель N во все ветви переходов, порожденных входной двоичной единицей. Таким образом, после прохождения ветви суммарный множитель N возрастает на единицу, только если этот переход ветви вызван входной битовой единицей. Для сверточного кода, описанного на рис. 8.3, на перестроенной диаграмме состояний (рис. 8.16) показаны дополнительные множители L и N. Уравнения теперь можно переписать следующим образом:
Xb = D2LNXa+LNXc,
Xc = DLXb+DLXd,
Xd = DLNXb+DLNXd,
Xe = D2LXc.
Передаточная функция кода такой доработанной диаграммы состояний будет следующей:
Таким образом, мы можем проверить некоторые свойства путей, показанные на рис. 8.14. Существует один путь с расстоянием 5 и длиной 3, который отличается от нулевого пути одним входным битом. Имеется два пути с расстоянием 6, один из них имеет длину 4, другой — длину 5, и оба отличаются от нулевого пути двумя входными битами. Также есть пути с расстоянием 7, из которых один имеет длину 5, два — длину 6 и один — длину 7; все четыре пути соответствуют входной последовательности, которая отличается от нулевого пути тремя входными битами. Следовательно, если нулевой путь является правильным и шум приводит к тому, что мы выбираем один из неправильных путей с расстоянием 7, то в итоге получится три битовые ошибки.