7.3.Кодирование на основе решения ключевого уравнения

Процедура кодирования строится на основе процедуры декодирования в предположении, что известны все информационные символы кодовой комбинации, а избыточные символы стерты, т. е. в

кодовой комбинации имеет место n–kстираний. Для организации процедуры кодирования избыточным символам приписываются нулевые значения. Процедура кодирования строится по алгоритму быстрого декодирования РС-кодов и содержит следующие этапы:

Вычисление корней порождающего многочлена, если они не заданы.

Вычисление синдромного многочлена.

Вычисление многочлена локаторов стираний.

Вычисление многочлена значений стираний.

Вычисление значений избыточных символов.

Пример 7.8.

Рассмотрим процесс кодирования для кода Рида-Соломона (7,3) с порождающим многочленом

g(x)=(x+α)(x+α²)(x+α³)(x+α⁴)=α³+α¹x+α⁰x²+α³x³+x⁴, рассмотренного в предыдущем примере.

Пусть необходимо найти избыточные элементы для комбинации, содержащей на местах информационных элементов х⁴ ,т.е. кодовая комбинация со стертыми избыточными элементами имеет видf^′(x) =x⁴.

Решение:

Вычисление корней порождающего многочлена

Порождающий многочлен известен. Его корнями являются элементы поля GF(2³):α,α²,α³и α⁴.

.Вычисление синдромного многочлена S(x)

S(x) = S₁ + S₂x + S₃x² + S₄x³ . Здесь S_i= f^′(x= αⁱ) = (αⁱ)⁴, где αⁱ - элемент GF(2³),являющийся корнем порождающего многочлена рассматриваемого кода, т.е. i = 1,2,3,4

Находим: S₁= (α¹)⁴ = α⁴ , S₂= (α²)⁴= α⁸ = α, S₃= (α³)⁴= α¹² = α⁵, S₄ = (α⁴)⁴ = α¹⁶ = α².

Таким образом, S(x) =α⁴+ αx+ α⁵x²+ α²x³.

Вычисление многочлена локаторов стираний Г(х)

Локаторы стираний: α⁰ , α¹ , α², α³и Г(х)= (1+ α⁰х) (1+ α¹х) (1+ α²х) (1+ α³х) = 1+ α²х + +α⁵x²+ α⁵x³+ α⁶x⁴. Производная от Г(х): Г^′(х)= α²+ α⁵x².

Вычисление многочлена значений стиранийΩ(х)

Ω(х) = S(x) Г(х)(modx^2t) = (α⁴+ αx+ α⁵x²+ α²x³)( 1+ α²х + α⁵x²+ α⁵x³+ α⁶x⁴) )(modx⁴) =

= α⁴+ α⁵x+ α²x³.

Вычисление избыточных элементов

f₀ = == α³, f ₁ = == α ,f₂ = == 1,

f₃ = == α³.

Итак, искомая кодовая комбинация кода Рида-Соломона (7,3) имеет вид

f(x)=α³+α¹x+α⁰x²+α³x³+x⁴, что в точности соответствует порождающему многочлену кода.

7.4.Задачи

1. Построить кодирующее устройство для укороченного циклического кода (10,5) с и проследить по тактам процесс формирования избыточных элементов для какой-либо комбинации. Результат проверить алгебраически.

2. Построить устройство обнаружения ошибок (схему вычисления синдрома) для укороченного (10,5) – кода с .

3. С помощью схемы вычисления синдрома предыдущей задачи определить принадлежность комбинаций икоду (10,5).

4. Построить кодирующее устройство для кода (15,5) с .

5. Построить генератор последовательности длины 7 и получить эту последовательность.

6. Построить кодирующее устройство для кода Рида-Соломона (7,5) на основе схемы рис 6.10.

7. Построить генератор элементов поля GF(2⁴)

8. Построить генератор элементов поля GF(2⁵)

9. Закодировать α⁰= 1 (элемент поляGF(2³)) кодом Рида-Соломона (7,5) , используя процедуру быстрого декодирования.

10.Построить проверочную и порождающую матрицы кода Рида-Соломона (7,5) с помощью схемы деления на порождающий многочлен g(x)=α³+α¹x+α⁰x²+α³x³+x⁴.