2.1.2. Передача двоичных сигналов по каналам с абгш

Для каналов с АБГШ (или гауссовых каналов) апостериор­ная вероятность принятого значения при условии, что был передан символ v,-, равна

(1.3)

Как показано в главах 1 и 5 квадрат Евклидова расстояния,

= , является метрикой для декодирования по максимуму правдоподобия(MLD). Обозначим Е энергию переданного сигнала. Для отображения символов в сигналы (или модуляции) используем двоичную фазовую модуляцию(BPSK)

(1.4)

или иначе

(1.5)

В двоичном канале с фазовой модуляцией и Гауссовым шумом вычисление метрики декодирования может быть упрощено, если заметить, что при условии =1 имеем

(1.6)

Легко видеть, что после удаления константных членов натуральный логарифм отношения условных вероятностей p(r|v)/p(r|1-v) (индекс I опущен), называемый метрикой логарифма правдоподобия, пропорционален –r, если v=1, и пропорционален r, если v=0.

Действительно,

Таким образом, весьма полезным является следующее замечание: в двоичном канале с Гауссовым шумом вычисление метрики сводится к изменению знака принятой из канала величины.

2.1.3. Алгоритм Витерби с Евклидовой метрикой

Алгоритм Витерби (VD) может быть применен для декодиро­вания данных, которые закодированы двоичным сверточным кодом и переданы по каналу с двоичной фазовой модуляцией и АБГШ. По сравнению с алгоритмом Витерби с жестким ре­шением, который изучался в разделе 5.4, необходимы следую­щие два изменения.

Блок генерации метрики ребер:

Как было показано в предыдущем разделе, метрика для канала с аддитивным Гауссовым шумом пропорциональна корреля­ции между принятой из канала последовательностью отсчетов и проверяемой кодовой последовательностью. Таким образом, вместо Евклидовых расстояний используются корреляционные метрики.

Блок Прибавить-сравнить-выбрать (ACS): Алгоритм Витерби максимизирует корреляционную метрику вместо минимизации расстояния.

Рис. 1.3. Путь на треллисе, соответствующий последовательности u = (110100).

Пример 1. Рассмотрим сверточный кодер памяти 2 и скорости 1/2 с генераторами (7, 5). Предположим, что ин­формационная последовательность равна и = (110100). Со­ответствующий путь на кодовой решетке показан на Ри­сунке 1.3.

Переданная (кодовая) последовательность (нормализован­ная относительно Е) равна

f(v) = (-1-1,1,-14,-1,1,1,-1,1-1,-1).

Пусть принятая последовательность после передачи по каналу с АБГШ и квантования выхода канала на 8 уровней (3 бита) равна:

r = (-4,-1,-1,-3,+2,-3,+3,+3,-3,+3,-3,+1)

Заметим, что жесткое решение имеет вид:

=(11,11,01,00,10,10)

Т.е. в процессе детектирования сигналов с жестким решением ввел две ошибки(выделены жирным шрифтом). Вычисления декодера Витерби иллюстрируются на рисунках с 2 по 7. Изменение значений метрик в процессе декодирования по шагам показано в следующей таблице

Табл.1. Изменение значений метрик в процессе декодирования

Декодированная информационная последовательность равна

u = (1 1 0 1 0 0). Таким образом, исправлены две ошибки.

Все соображения по реализации декодера Витерби применимы и в случае мягкого декодирования. В частности, должна быть аккуратно выполнена нормализация метрики.