MMATHAN05

						= √2 ln x − 4 +																																		x − 4															+						16		+ C =
										1																		1																						1	2										15
										=				√2 ln									x − 4 + x2 − 2 x + 1 + C.
														1																		1																			1
		x dx											=							1						( 2x + 1) − 1																									dx =
8.																				2
	√5 + x − x2															−												√−5 + x − x2
																d(						x2 + x + 5)																												1												dx
						= −											√−5 + x − x2																								+ +															√											=
																																																		2
																																																												5 + x − x2
																																		1																					dx
										−				5 + x − x2 +																																																				=
																																		2
																																													21							−						x −				1 2
																																																	4													2
																																																													1
																																									1													x −
																																																													2
										= − 5 + x − x2 +																																	arcsin																			+ C				=
																																																							√
																																									2
																																																										21
																																																							2
										=																																1			arcsin										2x − 1									+ C.
																				5 + x												x2						+
														−														−													2															√21
9.		2 + x − x2 dx =																																																			dx =
																												4 − x − 2																							2
																												9																	1
		1																																																					1
=								4 −							x − 2													+ 4 ·											2 arcsin																						+ C =
	2																																																						3
	x − 2							9												1				2								9						1														x − 2
	2x	− 1																						9																	2x									1						2
=						2 + x − x2 +																						arcsin																	−							+ C.
		4																							8																				3
10.		2 + x + x2 dx =
																												x + 2																	2	+ 4 dx =
																																						1												7

101

	x +	1
			x + 2						2							8 ln x + 2 +										2		+ C =
=		2									4 +												x + 2				+ 4
	2								+
								1			7					7			1				1				7
	2x + 1										7							1
=					2 + x + x2 +										ln x +				+ 2 + x + x2 + C.
	4											8						2

Задачи для самостоятельной работы

1.		x2 − x + 2 .
		dx

x5 dx

3.x6 − 2x3 + 5 .

5.		√x + x2 .
			dx
7.			x + x3
		√		dx.
			1 + x2 − x4
9.			x dx
		√			.
			1 − 3x2 − 2x4

x + 1

2.x2 + x + 1 dx.

4.		3 sin2 x − 4 sin 2x + 5 cos2 x .
				dx
6.			x + 1
		√		dx.
			x2 + x + 1

8.x x4 + 2x2 − 1 dx.

cos x dx

10.√1 + sin x + cos2 x .

Ответы

1.	2						arctg							2x − 1 + C											. 2.					1 ln(x2 + x + 1) +																1				arctg							2x + 1 + C											.
		√													√															2																√													√
						7												7																														3													3
		1			ln(x6									2x3 + 5) +												1								x3		− 1				+ C						1	ln					3 tg x								5						+ C
3.	6										−															6 arctg																	.	4.	2									tg x					−1								.
																																				2
											1																										1								1													−
															√						2																																	2
																																																		√
5. ln x +											2		+					x + x								+ C.									6.		2			ln x +					2	+					x					+ x +								1 +
																														1															3											2x2								1
	√ 2																																√				2						4
+				x				+ x + 1 + C.																		7.									1 + x							x		+			arcsin													−						+ C.
																												−2													−				4													√5
		x2 + 1 √																										1			ln				2						√
														4	2																													4						2
8.												x			+ 2x						−			1		−								|x		+ 1 +							x	+ 2x							− 1| + C.
		4																										2
9.	1								arcsin								4x2 + 3							+ C					.	10.					arcsin						2 sin x − 1								+ C						.
			2√2															√17																									3

102

Занятие 7. Интегрирование рациональных дробей

Задание

Найти интегралы методом неопределенных коэффициентов.

2x2 + 41x − 91

1.(x − 1)(x + 3)(x − 4) dx.

3.		x(x + 1)(x2	+ x + 1) dx.
		dx

x4

5.x4 + 3x2 + 2 dx.

x4

2.(x2 − 1)(x + 2) dx.

4.		x4 + x2	+ 1 .
		dx

8x + 48

6.(2x − 1)(4x2 + 16x + 17) dx.

Решения

1.

2x2 + 41x − 91

dx

Вычислим (x − 1)(x + 3)(x − 4) .

Разложение дроби

2x2 + 41x − 91

в сумму простейших

(x − 1)(x + 3)(x − 4)

дробей ищем в виде

2x2 + 41x − 91

=

A

+

B

+

C

.

(3.1)

(x − 1)(x + 3)(x − 4)

x − 1

x + 3

x − 4

Приводя в (3.1) к общему знаменателю правую часть, имеем

2x2 + 41x − 91

=

(x − 1)(x + 3)(x − 4)

= A(x + 3)(x − 4) + B(x − 1)(x − 4) + C(x − 1)(x + 3) . (x − 1)(x + 3)(x − 4)

Приравнивая числители дробей, получаем тождество

A(x + 3)(x −4) + B(x −1)(x −4) + C(x −1)(x + 3) = 2x2 + 41x −91.

(3.2)

103

Перепишем его в виде

(A+ B + C)x2 + (−A−5B + 2C)x−12A+ 5B −3C = −2x2 + 41x−91.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравнений

A + B + C = 2,

−A − 5B + 2C = 41,

−12A + 4B − 3C = −91.

Эта система решается по правилу Крамера, но ее проще решить методом исключения. Исключаем из второго и третьего уравнений неизвестное A. С этой целью второе уравнение сложим с первым, а затем первое уравнение умножим на 12 и сложим с третьим. Приходим к эквивалентной системе

A + B + C = 2,

−4B + 3C = 43,

16B + 9C = −67.

Умножая, теперь, второе уравнение на 4 и складывая с третьим, получаем 21C = 105 или C = 5. Из второго уравнения находим B = −7, из первого уравнения имеем A = 4. Следовательно,

2x2 + 41x − 91

dx =

4

7

+

5

dx =

(x − 1)(x + 3)(x − 4)

− 1

− x + 3

x − 4

x

= 4 ln |x − 1| − 7 ln |x + 3| + 5 ln |x − 4| + C =

= ln

(x

1)4(x

4)5

+ C.

−(x + 3)−7

Метод нахождения неопределенных коэффициентов в разложении правильной рациональной дроби на простейшие, изложенный выше, — стандартный метод. Он годится при интегрировании любых правильных рациональных дробей. Однако, иногда полезно в равенство, полученное после приведения к общему знаменателю простейших дробей и приравнивания числителей, подставлять

104

5x2 − 4

5x2 − 4

вместо x некоторые специально подобранные числа, что может значительно упростить нахождение неопределенных коэффициентов. Применим это к решенному примеру. Полагая поочередно в тождестве (3.2) x равным 1 или -3 или 4, получаем:

при x = 1 уравнение −12A = −48 A = 4, при x = −3 уравнение 28B = −196 B = −7, при x = 4 уравнение 21C = 105 C = 5.

2. Вычислить	x4
		dx.
	(x2 − 1)(x + 2)

Под знаком интеграла стоит неправильная дробь (степень многочлена в числителе больше степени многочлена в знаменателе).

Выделим ее целую часть, разделив числитель x4 на знаменатель

(x2 − 1)(x + 2) = x3 + 2x2 − x − 2:

4						3	+ 2x	2	− x − 2
x4	3	2				x
x	+ 2x3	− x2	− 2x			x − 2
—−2x3		+ x	+ 2x
			2
	−2x	− 4x	2	+ 2x + 4
		5x		− 4 (остаток)

В результате получаем:

x4 = x − 2 + .

(x2 − 1)(x + 2) (x2 − 1)(x + 2)

Но тогда

		x4		dx =		x	−	2 +	5x2 − 4	dx.
		(x2 − 1)(x + 2)							(x2 − 1)(x + 2)

5x2 − 4

Разложение дроби (x2 − 1)(x + 2) в сумму простейших ищем в виде

A B C

(x − 1)(x + 1)(x + 2) = x − 1 + x + 1 + x + 2 .

Получаем

A(x + 1)(x + 2) + B(x − 1)(x + 2) + C(x2 − 1) = 5x2 − 4,

105

x = 1,

6A = 1,

A =

1

,

6

x = −1, −2B = 1,

B =

1

−

,

2

x = −2, 3C = 16,

C =

16

.

3

Следовательно,

x

−

2 +

5x2 − 4

dx =

(x2 − 1)(x + 2)

= x − 2 +

1

1

+

16

dx =

−

6(x − 1)

2(x + 1)

3(x + 2)

x2

1

1

16

=

− 2x +

ln |x − 1| −

ln |x + 1| +

ln |x

− 2| + C.

2

6

2

3

3. Вычислить

dx

dx.

x(x + 1)(x2 + x + 1)

Подынтегральная функция — правильная рациональная дробь. Так как квадратный трехчлен x2 +x+1 имеет комплексные корни, то разложение этой дроби в сумму простейших ищем в виде

	dx		=	A	+	B	+	Cx + D	.
	x(x + 1)(x2 + x + 1)			x		x + 1		x2 + x + 1

Умножая обе части этого равенства на x(x + 1)(x2 + x + 1), имеем

A(x + 1)(x2 + x + 1) + Bx(x2 + x + 1) + (Cx + D)x(x = 1) = 1,

(A + B + C)x3 + (2A + B + C + D)x2 + (2A + B + D)x + A = 1.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа, получаем

A + B + C = 0,	A = 1,		1,		A = 1,		1,
2A + B + C + D = 0,	B + C =				B =
		−				−
2A + B + D = 0,	B + C + D = 2,				C = 0,
				−
A = 1,	B + D = −2,				D = −1.

106

Таким образом,

dx

1

1

1

dx =

−

−

x(x + 1)(x2 + x + 1)

x

x + 1

x2 + x + 1

= ln |x| − ln |x + 1| −

1

2 3 =

dx

x +

+

2

4

= ln

x

2

+ 1

+ C.

x + 1

− √3 arctg 2x√3

dx =

4. Вычислить	dx
		.
	x4 + x2 + 1

Разложим знаменатель подынтегральной дроби на простейшие множители.

x4 + x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1 − x2 = (x2 + 1)2 − x2 = = (x2 + x + 1)(x2 − x + 1).

Тогда

	1		=	Ax + B	+	Cx + D	,
	(x2 + x + 1)(x2 − x + 1)			x2 + x + 1		x2 − x + 1

(Ax + B)(x2 − x + 1) + (Cx + D)(x2 + x + 1) = 1,

(A + C)x3 + (−A + B + C + D)x2 + (A − B + C + D)x + B + D = 1,

	+ C = 0,					A + C = 0,
AA + B + C + D = 0,					C + D = 0,
−
A B + C + D = 0,					A B = 0,
	−						−
B + D = 1,					B + D = 1,
		A = B = D =	1				1
				, C	=	−		.
			2				2

107

Следовательно,

−

x2 − x + 1

(x2 + x + 1)(x2 − x + 1)

2

x2 + x + 1

2

dx

=

1

x + 1

dx

1

x − 1

dx,

x + 1

1 (2x + 1) + 1

dx =

dx

=

x2 + x + 1

2

x2 + x + 1

1

1

2x + 1

=

ln(x2

+ x + 1) +

√

arctg

√

,

2

3

3

x − 1

dx =

1

(2x − 1) − 1

dx =

x2 + x + 1

2

x2 − x + 1

= 1 ln(x2

x + 1)

1

arctg

2x − 1 .

2

−

−

√

√

3

3

Окончательно получаем

(x2 + x + 1)(x2 − x + 1) =

x4 + x2 + 1 =

dx

dx

=

1

ln

x2 + x + 1

+

1

2x + 1

+

2x − 1

.

4

x2 − x + 1

2√3

arctg √3

arctg

√3

5. Вычислить

x4

dx.

x4 + 3x2 + 2

Выделяя целую часть подынтегральной дроби, получаем

x4

(x4 + 3x2 + 2) (3x3 + 2)

dx =

−

dx

=

x4 + 3x2 + 2

x4 + 3x2 + 2

= 1 −

3x2 + 2

dx.

(x2 + 1)(x2 + 2)

3x2 + 2

Правильная дробь (x2 + 1)(x2 + 2) не содержит нечетных степе-

ней. Поэтому ее разложение в сумму простейших дробей не может содержать нечетных степей и, следовательно, имеет вид:

3x2 + 2	=	A	+	B
					.
(x2 + 1)(x2 + 2)		x2 + 1		x2 + 2

108

Найдем коэффициенты A и B. Имеем

A(x2 + 2) + B(x2 + 1) = 3x2 + 2,

	A + B = 3,						A = −1,
	2A + B = 2,						B = 4.
Следовательно,
	x4				1						4
		dx =	1 +					−
	x4 + 3x2 + 2						x2 + 1				x2 + 2
				√				x			+ C.
	= x + arctg x − 2				2 arctg √
									2

dx =

8x + 48

6. Вычислить (2x − 1)(4x2 + 16x + 17) dx.

Разложение подынтегральной дроби на простейшие ищем в виде

8x + 48

A

Bx + C

=

+

.

Тогда

(2x − 1)(4x2 + 16x + 17)

2x − 1

4x2 + 16x + 17

A(4x2 + 16x + 17) + (Bx + C)(2x − 1) = 8x + 48,

(4A + 2B)x2 + (16A − B + 2C) + 17A − C = 8x + 48,

16A B + 2C = 8,

18A + 2C = 8,

B = 4,

2A + B = 0,

2A + B = 0,

A = 2,

−

−

17A

C = 48,

17A

C = 48,

C =

14.

−

4

2

−

4x + 14

−

x

dx =

−

dx =

x4 + 3x2 + 2

2x − 1

x4 + 16x + 17

= ln |2x − 1| − 1

(8x + 16) + 12 dx =

2

4x2 + 16x + 17

= ln

|2x − 1| −

1

ln(4x2

+ 16x + 17) − 6

dx

=

2

(2x + 4)2 + 1

= ln

|2x − 1| −

1

ln(4x2

+ 16x + 17) − 3 arctg (2x + 4) + C.

2

109

Задачи для самостоятельной работы

		x + 3
1.		2		dx.
		(x − 2)(x + 5)
3.		x3 + 1
			dx.
		x3 − 5x2 + 6x

x2 + 5x + 4

5.x4 + 5x2 + 4 dx.

xdx

2.(x + 1)(x + 2)(x + 3) .

x4

4.x4 + 5x2 + 4 dx.

6. x dx . x3 − 1

Ответы

1. ln |x −2|+ ln |x + 5|+ C. 2.

1

ln

(x + 2)4

+ C. 3. x +

1

ln |x|−

2

(x + 1)(x + 3)3

6

9

28

1

8

x

−

ln x

2

|

+

ln x

3

|

+ C.

4. x +

arctg x

arctg

+ C.

2

3

3

3

2

| −

| −

−

5.

x +

5

ln

x2

+ 1

+ C

1

ln

(x −

1)2

+

1

2x

+ 1

+ C

arctg

.

6. 6

6

x2

+ 4

x2 + x + 1

√3 arctg

√3

.

Занятие 8. Интегрирование рациональных дробей

Задание

Найти интегралы методом неопределенных коэффициентов.

1.		x2 + 1				2.	x dx		.
					dx.
							(x − 1)2(x2 + 2x + 2)
		(x + 1)2(x − 1)
3.		x3 + x − 1	dx			4.	(x + 1)4	dx
		(x2 + 2)2 .					(x2 + 2x + 2)3 .
		(5x − 12) dx				6.	dx			.
5.		2			.
							(x + 3)3(x + 2)2(x + 1)
		(x2 − 6x + 13)2
110