MMATHAN05

√

3

dx

7. Вычислим

.

x2√

4

−

x2

√

2

Замена

x = 2 sin t,

dx = 2 cos t dt,

√

π

=

√

π

2 t =

3 t

=

x =

, x

,

4

3

√

π

π

√

3

3

1

3

1

1

− 1

dx

=

dt

=

t

=

1 =

3

.

4 ctg

x2√4

x2

4 sin2 t

−

π

−4

√3 −

4√3

√

−

π

2

4

4

3

dx

8. Вычислим 0

√

.

1 + x2

Положим x = sh t. Тогда dx = ch t dt, √

= √

=

1 + x2

1 + sh 2t

= √ ch 2t

= ch t. Найдем новые пределы интегрирования. Если

x = 0, то очевидно t = 0. Если x = 3, то t находим из уравнения

sh t = 3. Имеем

et − e−t

= 3,

t = z, z > 0, z2

6z

1 = 0, z = 3 + √

,

e

−

−

10

2

et

= 3 + √

,

t = ln(3 + √

10

10).

Следовательно,

√

3

dx

ln(3+ 10)

0

√

=

0

dt = ln(3 + √10).

1 + x2

1

2

9. Вычислим 0

1 + x

dx.

1 − x

x = cos t,

dx = − sin t dt,

1 + x

1 + cos t

t

Замена

=

=

ctg

,

1 − x

1 − cos t

2

x = 0 t =

π

=

1

t =

π

, x

,

2

2

3

151

1

π

π

2

3

2

1 + x

t

t

0

dx = − π

ctg

sin t dt = π

2 cos2

dt =

1 − x

2

2

2

3

π

π

π

√3

2

2

= (1 + cos t) dt = (t + sin t)

=

+ 1 −

.

π

6

2

π

3

3

3

arccos

10. Вычислим 0

x

dx.

1 + x

Положим arccos

x

= t. Тогда

1 + x

1 + x = cos2 t,

x = cos2 t + x cos2 t,

1 + x = cos t,

x

x

x = ctg 2t,

dx = d( ctg 2t),

√

x = 0 t = arccos 0 =

π

x = 3 t = arccos

3

=

π

,

.

2

2

6

Следовательно,

π

π

π

3

arccos

6

t d( ctg 2t) = t ctg 2t

6

6

1 + x dx =

π −

ctg 2t dt =

x

0

π

π

2

2

2

π

π

= 6 ctg 2

6

sin2 t − 1 dt = 2 + ( ctg t + t)

6

=

6 −

π

π

π

1

π

π

2

2

=

π

√

π

π

π

√

+

3 +

−

=

+

3.

2

6

2

6

152

Задачи для самостоятельной работы

1.		1		√5 4x .
					x dx
	−	1				−
	ln 2
3.	0			√				dx.
					ex − 1
		9	x √3
5.								dx.
						1 − x
	1

√

3

2

1 − x

7.1 + x dx.

0

a
2.	x2
			a2	− x2 dx.
0

1

4√

4.arcsin x dx.

(1 − x)x

	0
	1
6.
		x15	1 + 3x8 dx.
	0
	3
8.	0	arcsin			x
							dx.
					1 + x

Ответы

	1		πa4		π		π2		468		29		π		1		4		√
1.		. 2.		. 3. 2 −		. 4.		. 5. −		. 6		. 7.		−		. 8.		π −		3.
	6		16		2		36		7		270		3		2		3

Занятие 14. Несобственные интегралы с бесконечными пределами

Задание

Найти интегралы.

+∞

1. dxx4 .

1

	+∞
2.	0	e−ax dx (a > 0).

153

3.	+∞	x2 + 2x + 2 .
		dx
	−∞
5.	+∞	(1 + x)3 dx.
	0
		x

+∞

7.x3 e−x2 dx.

	0
9.	+∞	(x2 + a2)3 .
	0
		dx

4.	+∞			x2(x + 1) .
	1
					dx
6.	+∞			x√x2			1 .
					dx
	√					−
		2
8.	+∞			(x2 + 1)2 .
					dx
	−∞
	+∞
10.	0			e−ax cos bx dx (a > 0).

Решения

Пусть функция f (x) — непрерывна на полупрямой [a, +∞) и F (x) — ее первообразная. Тогда

+∞		+∞
	f (x) dx = F (x) a		= x→+∞ F (x) − F (a).
a			lim

Аналогично, если f (x) — непрерывна на (−∞, +∞) и F (x) — первообразная для f (x), то

+∞		+∞	= x +	F (x) − x lim F (x).
f (x) dx = F (x)
			→ ∞	→−∞
			lim
−∞
	−∞

Учитывая сказанное, вычисляем интегралы из задания.

1.	+∞	x4	= −3x3		+∞	= 0 + 3		= 3 .
					1
	1	dx	1			1		1

154

2.

+∞

ax

+∞

e−ax dx = (a > 0) = − e a

0

= 0 + a = a .

0

−

1

1

3.

+∞

x2 + 2x + 2

+∞

+∞

=

(x + 1)2

+ 1 = arctg (x + 1)

=

dx

dx

π

π

−∞

−∞

−∞

=

− −

= π.

2

2

1

+∞

dx

+∞

dx

+∞

d

1

= t =

x

4.

=

= −

=

x2(x + 1)

x3

1 +

1

x 1 +

1

x

x

x

1

0

1

1

1

t + 1−

1

= 1 − ln 2.

−

t + 1 = (t

1

dt = (t − ln(t + 1)) 0

1

t dt

0

+ 1)

1

+∞

x

+∞

dx

+∞ d

1

= t =

x

5.

dx =

= −

=

(1 + x)3

2

1

3

1

3

x

0

0 x

+ 1

0

+ 1

x

x

= −

0

(t + 1)3

+∞

+∞

= 0 + 2 =

2 .

=

(t + 1)3 = −2(t + 1)2 0

+

dt

0

dt

1

1

1

∞

1

+∞

dx

+∞

dx

+∞ d

x

6.

x√

=

= −

=

x2

1

2

1

1

−

1 −

1 −

√2

√2 x

x2

√2

x2

1

+∞

π

π

= − arcsin

= 0 +

=

.

x

4

4

√2

+∞

2

1

+∞

2

1

+∞

7.

0

x3 e−x

dx =

0

x2 e−x

d(x2) = [x2 = t] =

0

t e−t dt =

2

2

155

u = t,

du = dt

1

+∞ +∞

= !

e−t "

=

−t e−t

+

e−t dt =

dv = e−t dt,

v =

2

0

−

0

1

+

∞

1

e−t

= −

=

.

2

2

0

+∞

8.

Вычислим

dx

.

(x2 + 1)2

−∞

При вычислении этого интеграла сделаем замену x = tg t.

Тогда t = arctg x и если −∞ < x < +∞, то −

π

< t <

π

. Итак,

2

2

π

π

π

+∞

2

2

2

(x2 + 1)2

=

cos2 t( tg 2t + 1)2 =

cos2 t dt = 2

cos2 t dt =

dx

dt

−∞

−π2

−π2

0

π

π

2

t +

2

2

= 2 .

= (1 + cos 2t) dt =

0

0

sin 2t

π

+∞

dx

9.

Вычислим 0

.

(x2 + a2)3

Полагая x = a tg t, получаем

π

π

+∞

2

2

0

(x2 + a2)3

= 0

cos2 t(a2 tg 2t + a2)3

= a5

0

cos4 t dt =

dx

a dt

1

π

π

1

2

1 + cos 2t

2

2

3

1

1

cos 4t dt =

=

0

dt =

0

+

cos 2t +

a5

2

8

2

8

156

π

= a5

8 t +

4 sin 2t +

32 sin 4t

2

= 16a5 .

1

3

1

1

0

3π

+∞

10. Вычислим

0

e−ax cos bx dx

(a > 0).

Интегрируя по частям, имеем

+∞

u = e−ax,

du = −a e−ax dx

I =

e−ax cos bx dx =

dv = cos bx dx,

v =

sin bx

=

0

b

1

+∞

+∞

+∞

e−ax sin bx 0

a

a

= −

+

e−ax sin bx dx =

e−ax sin bx dx =

b

b

b

0

0

=

u = e−ax,

du = −a e−ax dx

=

cos bx

dv = sin bx dx,

v = −

b

+∞

+∞

e−ax cos bx dx =

=

−

e−ax cos bx

−

b

b

b

a

1

0

a

0

a

a2

+∞

a

a2

=

−

0

e−ax cos bx dx =

−

I.

b2

b2

b2

b2

Из полученного уравнения

I =

a

−

a2

I

b2

b2

находим значение интеграла

+∞

a

I = e−ax cos bx dx = a2 + b2 .

0

157

Задачи для самостоятельной работы

+∞

dx

1.(a > 0).

x2

	a
3.	+∞	x2 + x − 2 .
	2
		dx
5.	+∞	(x2 + x + 1)2 .
		dx
	−∞
7.	+∞	x√1 + x5 + x10 .
	1
		dx
9.	+∞	x(1 + x4) .
	1
		dx

2.	+∞		1 + x2 .
			dx
	−∞
4.	+∞		(x2 + a2)2 .
			dx
	−∞
	+∞		arctg x
6.	0								dx.
			3
			(1 + x2) 2
8.		e−ax sin bx dx (a > 0).
	+∞		√
				x
10.	1						dx.
			(1 + x)2

Ответы

		1				2					π					4π			π		1		2
	1.		.	2. π. 3.					ln 2. 4.					. 5.		3√		. 6.		− 1. 7.		ln	1 + √		.
		a				3				2a2									2		5
																	3							3
	8.			b	. 9.	1			ln 2. 10.			π		+	1	.
		a2 + b2					4					4			2

158

Глава 4

Приложения определенного интеграла

Занятие 1. Вычисление площадей плоских фигур

Площадь S плоской фигуры A1A2B1B2 (рис. 4.1), ограниченной двумя кривыми y = y1(x), y = y2(x), y2(x) ≥ y1(x), и двумя прямыми x = a и x = b (a < b), вычисляется по формуле

b

[y2(x) − y1(x)] dx.

(4.1)

a

Площадь S плоской фигуры C1C2D1D2 (рис. 4.2), ограниченной двумя кривыми x = x1(y), x = x2(y), x2(y) ≥ x1(y), и двумя прямыми y = c, y = d, (c < d), вычисляется по формуле

d
S = c	[x2(y) − x1(y)] dy.	(4.2)
	159

Рис. 4.1

Рис. 4.2

Если x = x(t), y = y(t), 0 ≤ t ≤ T ,

— параметрические уравнения простой кусочно-гладкой замкнутой кривой C, пробегаемой так, что фигура, ограниченная этой кривой, остается слева (рис. 4.3), то площадь этой фигуры может вычислена по любой из следующих трех формул

					Рис. 4.3
	1	T
S =		0	(x(t)y (t) − y(t)x (t)) dt,		(4.3)
	2
			T
		S = 0		x(t)y (t) dt,	(4.4)
			T
		S = −		y(t)x (t) dt.	(4.5)

0

Площадь S сектора OAB (рис. 4.4), ограниченного кривой r = r(ϕ), заданной уравнением в полярных координатах, и двумя лучами ϕ = α и ϕ = β, α < β, вычисляется по формуле (4.6)

160