MMATHAN05

3)		2		2	d	x2	=	1			1
	x e−x	dx =		e−x						e−u du = −		e−u + C =
						2		2			2

12

=−2 e−x + C.

1.3.3.Метод подстановки (замена переменной)

Если f (x) — непрерывна, то, полагая x = ϕ(t), где ϕ(t) — непрерывно дифференцируемая функция, получим формулу замены переменной

f (ϕ(t))ϕ (t) dt.

f (x) dx =

(1.1)

П р и м е р ы

1) Найти

dx

.

ex + 1

Обозначим ex = t. Тогда x = ln t, dx =

dt

. Следовательно,

t

dx

dt

1

1

=

=

−

dt =

ex + 1

t(t + 1)

t

t + 1

= ln t − ln(t + 1) + C = x − ln( ex + 1) + C.

2) Найти	ln x dx
	x√		.
		1 + ln x

Обозначим √1 + ln x = t. Тогда ln x = t2 −1. Откуда, взяв от обеих частей последнего равенства дифференциал, получаем d(ln x) =

dx

d(t2 − 1)

или

= 2t dt. Следовательно,

x

ln x dx

(t

2

1)2t dt

x√

=

−

= 2 (t2 − 1) dt =

1 + ln x

t

t3

2

2

√1 + ln x (ln x − 2) + C.

= 2

− t + C =

t(t2

− 3) + C =

3

3

3

11

1.3.4. Интегрирование по частям

Пусть u(x) и v(x) – дифференцируемые функции. Тогда

		d(uv) = u dv + v du.
Интегрируя это равенство, получим
	d(uv) =	u dv +	v du	или	uv =	u dv +	v du.
Откуда следует формула
		u dv = uv −			v du.		(1.2)

Формула (1.2) называется формулой интегрирования по частям. Она

позволяет свести интеграл u dv к интегралу v du, который может оказаться более простым, чем исходный.

П р и м е р ы

1)(3x + 5) cos(5x − 8) dx =

= u = 3x + 5,

du =13 dx

=

dv = cos(5x − 8) dx,

v =

sin(5x − 8)

5

=

1

(3x + 5) sin(5x − 8)

−

3

sin(5x

− 8) dx =

5

5

=

1

(3x + 5) sin(5x

− 8) +

3

cos(5x − 8) + C.

5

25

1

dx

2)

dv = dx,

−

v = x

arctg x dx = u = arctg x,

du =

1 + x2

= x arctg x

d(x2)

−

x

1

1

ln(1 + x2) + C.

dx

= x arctg x−

= x arctg x −

1 + x2

2

1 + x2

2

12

3) x2 e3x dx =

2

,

du = 2x dx

=

u = x

3x

1

3x

dv = e

dx,

v =

e

3

=

= 3 e3x − 3

x e3x dx = dv = e3x dx,

v =

1 e3x

x2

2

u

= x,

du = dx

x

2

2

x

1

1

3

=

e3x dx

e3x −

−

=

e3x(9x2 − 3x + 2) + C.

3

3

3

3

27

x arctg x dx = u = arctg x,

du =

1

dx =

4)

1 + x2

dv = x dx,

v =

1

x2

2

2

1

2

2

1

(x

2

1

x

x

x

+ 1)

=

arctg x −

dx =

arctg x −

−

dx

=

2

2

1 + x2

2

2

1 + x2

=

x2

1

1 −

1

dx =

x2 + 1

x

+ C.

arctg x −

arctg x −

2

2

1 + x2

2

2

1.4.Интегрирование рациональных функций

1.4.1.Разложение многочлена на простейшие множители

Определение 1.3. Рассмотрим многочлен n-й степени с действительными коэффициентами

Pn(x) = a0xn +a1xn−1+a2xn−2+· · ·+an−1x+an , ai R, i = 0, 1, . . . , n.

Корнем многочлена Pn(x) называется такое число x = α (действительное или комплексное), при котором Pn (α) ≡ 0. Уравнение

a0xn + a1xn−1 + a2xn−2 + · · · + an−1x + an = 0

называется уравнением n-й степени.

13

Теорема 1.3

(Свойства комплексно сопряженных чисел). Для комплексно сопряженных чисел выполняются соотношения

1.z1 + z2 = z¯1 + z¯2.

2.z1 · z2 = z¯1 · z¯2.

3. a · z = a · z,¯ a R.

4. zn = z¯n, n N.

До к а з а т е л ь с т в о

1)Пусть z1 = a + bi, z2 = c + di. Тогда z¯1 = a − bi, z¯2 = c − di и

z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i = (a + c) − (b + d)i z¯1 + z¯2 = (a − bi) + (c − di) = (a + c) − (b + d)i.

Из последних двух равенств и следует

z1 + z2 = z¯1 + z¯2.

2)Доказывается аналогично 1).

3)Следует из 2), если учесть, что для a R выполняется a¯ = a.

4)Доказывается по индукции, если в 2) положить z1 = z2 = z.

Теорема 1.4

(Существование комплексно сопряженных корней многочлена). Если z = a + bi — корень многочлена

Pn (x) = a0xn + a1xn−1 + a2xn−2 + · · · + an−1x + an

с действительными коэффициентами, то z¯ = a − bi также корень этого многочлена.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть z = a + bi — корень многочлена с действительными коэффициентами, т.е.

a0zn + a1zn−1 + a2zn−2 + · · · + an−1z + an ≡ 0.

14

Применяя последовательно свойства комплексно сопряженных чисел, получаем

a0zn + a1zn−1 + a2zn−2 + · · · + an−1z + an ≡ ¯0, a0zn + a1zn−1 + a2zn−2 + · · · + an−1z + a¯n ≡ 0, a0z¯n + a1z¯n−1 + a2z¯n−2 + · · · + an−1z¯ + an ≡ 0,

т.е. Pn(¯z) ≡ 0 и z¯ - корень многочлена Pn (x). Теорема доказана.

С л е д с т в и е. Всякий многочлен n-й степени с действительными коэффициентами может иметь только четное число комплексных корней.

Теорема 1.5

(Теорема Безу). Остаток от деления многочлена Pn(x) на двучлен x − a равен значению многочлена в точке a, т.е. Pn (a).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если r остаток от деления многочлена Pn(x) на x − a, то

Pn(x) = (x − a)Pn−1(x) + r.

Полагая x = a, получаем Pn(a) = r.

С л е д с т в и е. Если x = a корень многочлена Pn (x), то многочлен Pn(x) представим в виде

Pn (x) = (x − a)Pn−1(x).

Действительно, в этом случае остаток от деления многочлена на x−a равен r = Pn(a) = 0.

Следующую теорему примем без доказательства.

Теорема 1.6

(Основная теорема алгебры). Всякий многочлен n-й степени имеет хотя бы один корень (действительный или комплексный).

C л е д с т в и е 1. Всякий многочлен n-й степени имеет ровно n корней, считая равные (кратные) корни и комплексные корни.

15

Действительно, если x1 корень многочлена Pn(x), то

Pn (x) = (x − x1)Pn−1(x),

точно также у Pn−1(x) есть корень x2 и

Pn−1(x) = (x − x2)Pn−2(x)

и т.д. Тогда

Pn(x) = (x − x1)Pn−1(x) =

=(x − x1)(x − x2)Pn−2(x) = · · · = a0(x − x1)(x − x2) · · ·(x − xn).

Сл е д с т в и е 2. Всякий многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень.

Пусть теперь Pn(x) — многочлен n-й степени с действительными коэффициентами и

xi, i = 1, 2, . . . , l — действительные корни кратности ki, i = 1, 2, . . . , l,

zj , z¯j , j = 1, 2, . . . , r — комплексно сопряженные корни кратности mj , j = 1, 2, . . . , r,

lr

ki + 2 mj = n.

i=1 j=1

Тогда

Pn (x) = a0(x−x1)k1 · · · (x−xl )kl [(x−z1)(x−z¯1)]m1 · · · [(x−zr )(x−z¯r )]mr .

Учитывая, что (x −zj )(x −z¯j ) = x2 + pj x + qj , где pj = −(zj + z¯j ) R и qj = zj z¯j R, окончательно получаем

Pn(x) = a0(x −x1)k1 · · · (x −x1)kl (x2 + p1x + q1)m1 · · · (x2 + prx + qr )mr

— разложение многочлена на простейшие множители.

16

правильной рациональной дробью, если степень

Определение 1.4. Отношение многочленов

1.4.2.Разложения правильной рациональной дроби на простейшие дроби

P (x) называется

Q(x)

многочлена P (x), стоящего в числителе, меньше степени многочлена Q(x), стоящего в знаменателе.

Определение 1.5. Дроби вида

A	,	M x + N	, k = 1, 2, . . . ,
(x − a)k		(x2 + px + q)k

где A, M, N, a, p, q — действительные числа, квадратный трехчлен x2 + px + q не имеет действительных корней, называются простейшими дробями .

Теорема 1.7

(Разложение правильной дроби на простейшие в случае действитель-

P (x)

ных корней). Пусть Q(x) — правильная рациональная дробь, знаме-

натель которой имеет корнем кратности n действительное число a, т.е.

Q(x) = (x − a)nQ1(x),

Q1(a) = 0.

Тогда для этой дроби справедливо разложение

P (x)

=

A0

A1

An−1

+

P1(x)

+

+ · · · +

, (1.3)

(x − a)n Q1(x)

(x − a)n

(x − a)n−1

x − a

Q1(x)

где коэффициенты Ak можно вычислить по формулам

Ak =

1 dk

(x − a)n

P (x)

x=a ,

k = 0, 1, 2, . . . (n − 1),

(1.4)

k!

dxk

Q(x)

аP1(x) — правильная дробь.

Q1(x)

17

Д о к а з а т е л ь с т в о. Умножим обе части предполагаемого разложения (1.3) на (x − a)n

P (x) = A0 + A1(x − a) + · · · + Ak (x − a)k + · · · + An−1(x − a)n−1+

Q1(x)

+P1(x) (x − a)n . Q1(x)

P (x)

Полагаем в этом равенстве x = a. Тогда A0 = . Q1(x) x=a

Дифференцируя затем это же равенство k раз, получаем для k = 1, 2, . . . , n − 1

dk P (x)

= k!Ak + (k + 1)k · · · 2Ak+1(x

− a) + · · · +

dxk

Q1(x)

+(n − 1)(n − 2) · · · (n − k)An (x − a)n−k−1 +

dk

P1(x)

(x − a)n

.

dxk

Q1(x)

Полагая в последнем равенстве x = a, имеем

dk

P (x)

x=a = k!Ak .

dxk

Q1(x)

Откуда следует, что коэффициенты A0, A1, A2, . . . , An−1 существует и вычисляются по формуле

1			P (x)	x=a	1 dk			(x − a)	n P (x)		x=a, k = 0, 1, 2, . . . (n −1).
Ak =
	k!		Q1(x)		k!		dxk			Q(x)
				=

P1(x)

Дробь Q1(x) при найденных коэффициентах Ak равна

P1(x) = P (x) − A0 − A1(x − a) − A2(x − a)2 − · · · − An−1(x − a)n−1 Q1(x) Q(x)

ибудет правильной.

Сл е д с т в и е. Если

Q(x) = (x − a)n(x − b)m · · · (x − c)k Q1(x),

18

где a, b, . . . , c — действительные корни многочлена Q(x), а Q1(x) не имеет действительных корней, и степень многочлена P (x) ниже степени Q(x), то

P (x)

A0

A1

A2

An−1

=

+

+

+ · · · +

+

Q(x)

(x − a)n

(x − a)n−1

(x − a)n−2

x − a

+

B0

+

B1

+

B2

+ · · · +

Bm−1

+

(x − b)m

(x − b)m−1

(x − b)m−2

x − b

.....................................................................................

+

C0

C1

C2

Ck−1

P1(x)

+

+

+ · · · +

+

,

(x − c)k

(x − c)k−1

(x − c)k−2

x − c

Q1(x)

P1(x)

где Q1(x) правильная рациональная дробь.

П р и м е р ы

x

1) Разложим дробь (x + 1)(x + 2)(x + 3) на простейшие. Ее разложение представимо в виде

x

=

A

+

B

+

C

.

(x + 1)(x + 2)(x + 3)

x + 1

x + 2

x + 3

Используя формулу (1.4) при k = 0, получаем

A =

x

x=

= −

1

,

1

(x + 2)(x + 3)

−

2

x

B =

= 2,

(x + 1)(x

+ 3)

2

x=

−

x

3

C =

=

.

(x + 1)(x

+ 2)

3

−2

x=

−

Таким образом,

x

= −

1

+

2

−

3

.

(x + 1)(x + 2)(x + 3)

2(x + 1)

x + 2

2(x + 3)

2) Рассмотрим дробь, знаменатель которой имеет кратные корни

x

(x − 1)2(x + 1)3 .

19

Ее разложение на простейшие дроби должно иметь вид

x

A0

A1

+

B0

B1

=

+

+

(x − 1)2(x + 1)3

(x − 1)2

x − 1

(x + 1)3

(x + 1)2

Используя формулу вычисления коэффициентов

1 dk

(x − a)n

P (x)

Ak =

x=a

,

k!

dxk

Q(x)

находим

x

1

A0 = (x + 1)3

x=1 = 8 ,

+B2 . x + 1

A1 =

d

x

x=1

=

1

3x

x=1 =

1

−

−

,

dx

(x + 1)3

(x + 1)3

(x + 1)4

16

B0 =

x

x=

1 = −

1

,

(x

−

1)2

−

4

d

x

1

2x

B1 =

=

= 0,

dx (x − 1)2 x=−1

(x − 1)2 − (x − 1)3 x=−1

B2 =

1 d2

x

x=

1 =

1

−

4

+

6x

x=

1 =

1

.

2

dx2

(x

−

1)2

2

(x

1)3

(x

−

1)4

16

−

−

−

Окончательно получаем

x

=

1

−

1

−

1

+

1

.

(x − 1)2(x + 1)3

8(x − 1)2

16(x − 1)

4(x + 1)3

16(x + 1)

Теорема 1.8

(Разложение правильной дроби на простейшие в случае комплекс-

P (x)

ных корней). Пусть Q(x) — правильная рациональная дробь и

z = a + bi, z¯ = a − bi — комплексные корни кратности n многочлена Q(x), т.е.

Q(x) = (x2 + px + q)n Q1(x),

где Q1(z) = 0, z = a + bi, z¯ = a − bi — корни квадратного трехчлена x2 + px + q. Тогда эта дробь представима в виде

	P (x)	=
	(x2 + px + q)nQ1(x)
20