MMATHAN05

Задачи для самостоятельной работы

1.			1	x	2
					.
				− x	dx

x2

3.1 − x2 dx.

5.ctg 2x dx.

7.(2x − 3)10 dx.

		x)3
2.		(1x−√3		dx.
			x

4.(2x + 3x)2 dx.

6.cth 2x dx.

√

8.3 1 − 3x dx.

		dx	2				sin2		2x + π
9.		(5x − 2)	5	.	10.							.
										4
11.		1 + cos x .			12.		sh 2 x2 .
		dx					dx

Ответы

1

3

3

3

1

−

−

| |

−

√

−

−

1. x

x

x

2.

x

5 x2 + 8 x3

x +

x

2 ln x

+ C.

3 x

1 + 2 x

+ C. 3.

1

ln

1 + x

+ C. 4.

4

+ 2

6

+

9

+ C. 5. −x − ctg x + C. 6. x −

·

2

1

−

x

ln 4

ln 6

ln 9

1

1

4

2

11

3

cth x+C. 7.

(2x−3)

+C. 8. −

(1−3x)

+C. 9. −

+C.

22

4

3

1

15(5x − 2) 2

10.

ctg

2x +

π

+ C. 11. tg

x

+ C.

12.

−2 cth

x

+ C.

−

2

4

2

2

Занятие 2. Интегрирование внесением функции под знак дифференциала

Прежде всего заметим, что внести функцию f (x) под знак дифференциала означает, что мы должны под знаком дифференциала

81

записать ее первообразную F (x), т.е. f (x) dx = dF (x). Эта первообразная принимается за новую переменную интегрирования.

Задание

Найти интегралы:

1.		√1 − x2 .
			x dx
3.		4 + x4 .
		x dx
5.		x√x − 1 .
			dx
7.			dx
						.
		x ln x ln(ln x)

9.ctg x dx.

11.		cos x .
		dx

x2 + 1

13.x4 + 1 dx.

2.		3 − 2x2 .
		x dx
4.			dx				.
			x(1			x)
				−

ex dx

6.2 + ex .

8.		sin x
		√		dx.
			cos3 x
10.		sin2 x + 2 cos2 x .
			dx
12.				dx
		(arcsin x)2√				.
					1 − x2

x4 dx

14.(x5 + 1)4 .

Решения

d

x2

d(x2)

x dx

2

=

2

1.

√

=

√

2√

= − 1

− x

+ C.

1 − x2

1 − x2

1 − x2

2.

x dx

=

1

d(x2)

= −

1

ln |3 − 2x2| + C.

3 − 2x2

2

3 − 2x2

4

x dx

1

d(x2)

1

x2

3.

=

=

arctg

+ C.

4 + x4

2

(x2)2 + 22

4

2

82

4.

(1 − x)√x = 2

2√x√1 x = 2

1 d

(√x)2 =

dx

dx

√x

= 2 arcsin √

+ C.

−

−

x

5.

x√x

1 = 2

1 + C.

1 + (x−

1) = 2 arctg √x −

dx

d√x

1

−

−

x dx

d

x

6.

e

=

e

= ln(2 + ex) + C.

2 + ex

2 + ex

dx

ln x

d ln(ln x)

7.

=

d

=

=

x ln x ln(ln x)

ln x · ln(ln x)

ln(ln x)

= ln | ln(ln x)| + C.

sin x

3

−21

x

2

8.

√

dx

= −

cos−

2 x d cos x = −

cos

= √

+ C.

1

cos3 x

cos x

−

2

cos x

sin x

9.

ctg x dx =

dx =

d

= ln | sin x| + C.

sin x

sin x

10.

sin2 x + 2 cos2 x

=

cos2 x( tg 2x + 2) =

tg

2x + (√2)2 =

dx

dx

d tg x

1tg x

=√2 arctg √2 + C.

11.

dx

=

dx

=

dx

=

cos x

sin

x +

π

2 sin

x

+

π

cos

x

+

π

2

2

2

4

4

d tg

x

+

π

dx

2

4

=

=

x

π

=

2 tg

x

+

π

cos2

x

+

π

tg

+

2

4

2

4

2

4

= ln

tg

x

π

2 + 4 + C.

12.

dx

=

d arcsin x

= −

1

+ C.

√

(arcsin x)2

(arcsin x)2

arcsin x

1 − x2

83

1

d x −

1

x2 + 1

1 +

x

x2

13.

dx =

dx =

=

x4 + 1

x2 +

1

1

2

x2

x −

x

+ 2

1

=

1

x −

+ C =

1

x2 − 1

+ C

arctg

x

arctg

.

√

√

√

√

2

2

2

x 2

x4 dx 1 d(x5) 1

14.(x5 + 1)4 = 5 (x5 + 1)4 = −15(x5 + 1)3 + C.

Задачи для самостоятельной работы

1.		(1 + x2)2 .
		x dx

xdx

3.3 .

(x2 − 1) 2

		2
5.		ln x	dx.
		x
7.		tg x dx.
9.		sin2 x √4		ctg x .
			dx
11.		1 + x2 dx.
		arctg x

2. sin x1 · dxx2 .

4.x e−x2 dx.

6.sin5 x cos x dx.

8.		sin x + cos x
		√3		dx.
			sin x − cos x
10.		sin x .
		dx

2x · 3x

12.9x − 4x dx.

Ответы

						1						1					1								1		2
1.	−							+ C. 2. cos						+ C. 3. −	√				+ C.	4.			−			e−x		+ C.
				2(1 + x2)									x												2
																x	2	− 1
	1				3				1		6									3			√3
			ln							sin
5.						x	+ C. 6.					x + C. 7. ln | sin x| +							C. 8.					1 − sin 2x +
		3							6												2
84

4

4

tg

x

+ C

1

C

. 9.

3x + C

. 10.

ln

. 11.

2x + C

. 12.

1−3

ctg

3

x

2x

2

2 arctg

ln

−

+ C.

−

x

x

2(ln 3

ln 2)

3

+ 2

Занятие 3. Метод разложения

Задание

Найти интегралы:

1.		x2
			dx.
		x + 3
3.		x5
			dx.
		x + 1

xdx

5.(x + 2)(x + 3) .

dx

7. (x + a)2(x + b)2 .

9.cos x2 · cos x3 dx.

11.		sin4 x dx.
13.			sin x cos3 x .
			dx
15.			1 + ex .
			dx

x2

2.(x − 1)100 dx.

4.		x2 + x − 2 .
		dx
6.		x4 +x3x2	+ 2 .
		dx

8.cos2 x dx.

10.sin3 x dx.

12.		tg 3x dx.
14.		dx
			.
		cos4 x
16.		sh 2x ch 2x .
		dx

Решения

1.

x2

dx =

(x2 − 9) + 9

dx =

x

3 +

9

dx =

x + 3

2

x + 3

−

x + 3

=

(x − 3)

+ 9 ln x + 3

+ C

.

2

|

|

85

2

x 1) + 1)2

2.

x

dx =

(( −

dx =

(x − 1)100

(x − 1)100

(x

−

1)2 + 2(x

1) + 1

dx

dx

=

−

dx

=

+ 2

+

(x − 1)100

(x − 1)98

(x − 1)99

+

dx

= −

1

−

1

−

1

+ C.

(x − 1)100

97(x − 1)97

49(x − 1)98

99(x − 1)99

x5

1

x5

x4

3.

dx =

x4 − x3 + x2 − x + 1 −

dx =

−

+

x + 1

x + 1

5

4

+x3 − x2 + x − ln |x + 1| + C. 3 2

При решении примеров 4-7 используем стандартное разложение

1

=

1

1

1

−

.

(axn + b)(axn + c)

axn + b

axn + c

c − b

4.

dx

=

dx

=

1

1

1

dx =

−

x2 + x − 2

(x − 1)(x + 2)

3

x − 1

x + 2

=

1

(ln x

1

ln x + 2 ) + C =

1

ln

x − 1

+ C

3

| −

3

x + 2

.

| −

|

|

x dx

(x + 2)

−

2

dx

=

dx =

5.

(x + 2)(x + 3)

(x + 2)(x + 3)

x + 3 −

dx

dx

1

1

−2

=

− 2

−

dx =

(x + 2)(x + 3)

x + 3

x + 2

x + 3

= 3

x + 3 − 2

x + 2 = 3 ln |x + 3| − 2 ln |x + 2| + C =

dx

dx

= ln

|x + 3|3

+ C.

(x + 2)2

6.

x dx

=

1

d(x2)

=

x4 + 3x2 + 2

2

(x2 + 1)(x2 + 1)

=

1

1

−

1

d(x2) =

1

ln

x2 + 1

+ C.

2

x2 + 1

x2 + 2

2

x2 + 2

86

dx

1

1

1

2

7.

=

−

dx =

(x + a)2(x + b)2

(b − a)2

x + a

x + b

=

1

1

+

1

dx−

2

dx

=

(b − a)2

(x + a)2

(x + b)2

(b − a)2

(x + a)(x + b)

−

1

1

+

1

−

2

1

1

dx =

−

(b − a)2

x + a

x + b

(b − a)3

x + a

x + b

=

−

1

1

+

1

−

2

ln

x + a

+ C.

(b

−

a)2

x + a

x + b

(b

−

a)3

x + b

2

1

1

sin 2x

8.

cos

x dx =

(1 + cos 2x) dx

=

x +

+ C.

2

2

2

x

x

1

cos

x

5

x dx =

9.

cos

· cos

dx

=

+ cos

2

3

2

6

6

= 3 sin

x

+

3

sin

5x

+ C.

6

5

6

10.

sin3 x dx =

sin2 x · sin x dx = (cos2 x − 1) d cos x =

=

1

cos3 x

− cos x + C.

3

sin4 x =

1

cos 2x

2

1

1

1

11.

−

2

=

(1 − 2 cos 2x + cos2 2x) =

−

cos 2x +

4

4

2

+

1

(1 + cos 4x) =

3

−

1

cos 2x +

1

cos 4x;

sin4 x dx =

8

8

2

8

3

1

1

3

1

1

=

−

cos 2x +

cos 4x dx =

x

−

sin 2x +

sin 4x + C.

8

2

8

8

4

32

12.

tg 3x dx =

sin3 x

= −

(1

−

cos2 x) d cos x

=

dx

cos3 x

cos3 x

=

1

−

1

d cos x = ln | cos x| +

1

+ C.

cos x

cos3 x

2 cos2 x

dx

sin2 x + cos2 x

sin x

dx

13.

=

dx =

dx+

=

sin x cos3 x

sin x cos3 x

cos3 x

sin x cos x

=

−

d cos x

+

dx

=

1

+ ln | tg x| + C.

cos3 x

cos2 x tg x

2 cos2 x

87

dx

1

dx

3x

14.

=

·

=

(1+ tg 2x) d tg x = tg x+

tg

+C.

cos4 x

cos2 x

cos2 x

3

dx

=

(1 + ex) − ex

dx = dx

ex dx

= x

d ex

=

15.

1 + ex

− 1 + ex

−

1 + ex

1 + ex

= x − ln(1 + ex) + C.

1

1

dx

=

ch 2x − sh 2x

dx =

dx =

16.

sh 2x ch 2x

sh 2x

− ch 2x

sh 2x ch 2x

= − cth x − th x + C.

Задачи для самостоятельной работы

1.x2(2 − 3x2)2 dx.

x2

3.1 + x dx.

5.			dx
				dx.
			(x − 1)(x + 3)
7.		sin2 x dx.
9.		cos3 x dx.
11.			ctg 2x dx.
13.			sin2 x cos x .
			dx

2.x(1 − x)10 dx.

(1 + x)2

4.1 + x2 dx.

6.	(x2 + a2)(x2	+ b2) .
	dx

8.sin 3x · sin 5x dx.

10.		cos4 x dx.
12.			sin2 x cos2 x .
			dx

(1 + ex)2

14.1 + e2x dx.

Ответы

1.		4	x3	−	12	x5	+			9	x7	+ C	. 2. −	(1 − x)11	+	(1 − x)12			+ C		.	3.		1	(x		−
	3				5				7					11										2
								|				. 4.				12
−					|				+ C				x + ln(1 + x2) + C			. 5. 4			x + 3				+ C			. 6.
	1)2 + ln x + 1																1 ln			x −	1
88

1

1

x

1

x

x

1

1

arctg

−

arctg

+ C. 7.

−

sin 2x + C. 8.

sin 2x −

b2 − a2

a

a

b

b

2

4

4

1

sin 8x+ C. 9. sin x−

1

sin3 x+ C. 10.

3

x+

1

sin 2x+

1

sin 4x

+ C.

−

16

3

8

4

32

1

x

π

+ C.

14. x + 2 arctg ex + C.

+ ln

2 + 4

11. −x

− ctg x+ C. 12. −2 ctg 2x+ C. 13. −sin x

tg

Занятие 4. Замена переменной в неопределенном интеграле

Задание

Найти интегралы:

√

e5 x+3

1.√x + 3 dx.

3.		√2x cos2 √2x .
				dx
5.		√x + √4 x .
				dx
7.			cos3 x
		√					dx.
			1 + sin x
9.		x2√4 − x2 .
				dx

				2√
						5x + 4
2.			sin√						dx.
					5x + 4
4.			√3	x			dx.
				x + 5
6.		2
		x5(x3 − 1) 3 dx.
8.			√ ex + 4 .
				dx

a − x

10.a + x dx.

Решения

5√

√

= t

x + 3

x+3

1.

√

dx = x = t2

3

e

x

+ 3

dx = 2t−dt

2

2

=

e5t + C =

e5√

+ C.

x+3

5

5

=	et 2t dt = 2		e5t dt =
		5t

89

√

= t

sin 2√

dx =

5x + 4

=

sin 2t

2

2.

5x + 4

5x + 4 = t2

t dt =

√5x + 4

dx =

2

t dt

t 5

5

2

1

1

=

sin 2t dt = −

cos 2t + C = −

cos 2√5x + 4 + C.

5

5

5

√

= t

=

2x

=

t

3.

x =

t

=

=

t cos

2

2

√2x cos2 √2x

2

t

cos t

dx

2

dt

dt

dx = t dt

= tg t + C = tg √

2x

+ C.

√3

x + 5

4.

√3

x

dx = x = t3

5

=

t3 −

5

3t2 dt = 3 (t4

−

5t) dt =

x + 5

t

dx = 3t−2 dt

t5

5t2

3

= 3

−

+ C =

t2(2t3 − 25) + C =

5

2

10

=

3

3

3

(x + 5)2 (2(x + 5) − 25) + C =

3 (x + 5)2 (2x − 15) + C.

10

10

5.

√x + √4 x =

x = t4

=

t2

+ t = 4

t2 + t− dt =

dx

√4

x

= t

4t

3

dt

(t

3

+ 1)

1

dx = 4t3 dt

t3 + 1

dt

t2

t + 1

1

1

= 4

dt−4

= 4

−

−4

−

dt =

t(t + 1)

t(t + 1)

t

t

t + 1

= 4 (t − 1) dt + 4

t + 1 = 2t2 − 4t + 4 ln |t + 1| + C =

dt

= 2

√

√4

√4

x − 4

x

+ 4 ln(

x + 1) + C.

√3

= t

2

2

3

1

=

6.

x5(x3

−

1) 3

dx = x3(x3

−

1) 3 x2 dx =

x3x=−t3 + 1

t5

x2 dx = t2 dt

= (t3 + 1)t2 ·t2 dt = (t7 + t4) dt =

t8

t5

+

+ C =

(5t3 + 8)+ C =

8

5

40

1

=

3

(x3 − 1)2(x3 − 1)(5x3

+ 3) + C =

40

90