MMATHAN05
.pdfГлава 2
Определенный интеграл
2.1 . Задача о нахождении площади плоской фигуры
Пусть f : [a, b] → R - непрерывная и положительная функция. Требуется найти площадь S, ограниченную кривой y = f (x), прямыми x = a и x = b и осью x.
Разобьем сегмент [a, b] точками
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xi−1 < xi < · · · < xn = b
на n частей (рис. 2.1).
Рассмотрим сегмент [xi−1, xi], i = 1, 2, . . . , n, и пусть
Mi = sup f ([xi−1, xi]), mi = inf f ([xi−1, xi]).
Построим прямоугольники с основанием [xi−1, xi] и высотой Mi (левый рисунок) или высотой mi (правый рисунок). Площади полученных фигур равны, соответственно,
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
i |
|
|
|
|
S = |
Mi |
xi , |
S = |
mi xi , |
|
|
|
|
=1 |
|
|
i=1 |
где xi = xi − xi−1. |
|
|
|
|
||
Рис. 2.1. К определению площади криволинейной трапеции
Если брать произвольные разбиения сегмента [a, b], то получим множества значений для величин S и S. Если inf S = sup S, то это значение будем называть площадью трапеции, ограниченной кривой y = f (x), осью x и прямыми x = a, x = b (и, как будет видно далее, она вычисляется с помощью интеграла Римана).
|
|
|
b |
f (x)dx . |
S = inf |
|
= sup S |
= a |
|
S |
2.2 . Верхний и нижний интегралы Римана. Интеграл Римана
Определение 2.1. Пусть дан сегмент [a, b] R. Разбие-
нием P сегмента [a, b] мы называем множество |
точек P = |
{x0, x1, x2, . . . , xn} [a, b], удовлетворяющих условию |
|
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b.
Введем обозначение
xi = xi − xi−1 (i = 1, 2, · · · , n).
42
Определение 2.2. Пусть f : [a, b] → R - ограниченная функция. Каждому разбиению P сегмента [a, b] соответствуют числа
Mi = sup f ([xi−1, xi]), mi = inf f ([xi−1, xi]).
Составим суммы
|
n |
|
|
S(P, f ) = |
i |
|
- верхняя сумма Дарбу, |
Mi |
xi |
||
|
=1 |
|
|
|
n |
|
|
s(P, f ) = mi |
xi |
- нижняя сумма Дарбу. |
|
i=1
Точная нижняя граница множества верхних сумм Дарбу, составленных по всевозможным разбиениям P , называется верхним интегралом Римана и обозначается
f (x)dx = inf S(P, f ).
P
Точная верхняя граница множества нижних сумм Дарбу, составленных по всевозможным разбиениям P , называется нижним интегралом Римана и обозначается
f (x)dx = sup s(P, f ).
P
Если верхний и нижний интегралы совпадают, т.е. f (x)dx =
f (x)dx, то будем говорить, что функция f (x) интегрируема по
Риману на сегменте [a, b], и писать
f (x) R[a, b].
Само значение верхнего и нижнего интеграла при этом называют
|
|
|
b |
|
|
|
интегралом Римана и обозначают a |
f (x)dx, |
|||||
b |
|
|
|
|
|
|
a |
f (x)dx = f (x)dx = |
|
f (x)dx. |
|||
|
||||||
43
Теорема 2.1
(Теорема о существовании верхнего и нижнего интегралов Римана).
Верхний и нижний интегралы Римана от ограниченной функции существуют.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как f (x) ограничена на сегменте [a, b], то существуют два числа m и M , такие, что
m ≤ f (x) ≤ M (a ≤ x ≤ b).
Тогда, во-первых, в силу определения сумм Дарбу для любого разбиения P сегмента [a, b]
s(P, f ) ≤ S(P, f ),
и, во-вторых, в силу неравенства m ≤ mi ≤ Mi ≤ M
|
n |
|
n |
S(P, f ) = |
|
xi ≤ M |
i |
Mi |
xi = M (b − a), |
||
|
i=1 |
|
=1 |
|
n |
|
n |
s(P, f ) = |
|
xi ≥ m |
i |
mi |
xi = m(b − a). |
||
|
i=1 |
|
=1 |
Откуда
m(b − a) ≤ s(P, f ) ≤ S(P, f ) ≤ M (b − a),
так, что s(P, f ) и S(P, f ) образуют ограниченные множества. Это и показывает, что верхний и нижний интегралы Римана Определены для любой ограниченной функции. Теорема доказана.
2.3 . Измельчение разбиения
Определение 2.3. Разбиение P сегмента [a, b] называется измельчением разбиения P ,если P P .
Разбиение P называется общим измельчением разбиений P1 и P2, если P = P1 P2.
Теорема 2.2
(Теорема об измельчении разбиения). При измельчении разбиения сегмента [a, b] верхняя сумма Дарбу может только уменьшиться, а
44
нижняя сумма Дарбу может только увеличиться. Иными словами, если P P , то
S(P , f ) |
≤ |
S(P, f ), |
s(P, f ) |
≤ |
s(P , f ). |
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем первое соотношение. Допустим сначала, что разбиение P содержит ровно на одну точку больше, чем P . Обозначим эту новую точку через x и допустим, что xi−1 < x < xi , где xi−1 и xi - две последовательные точки разбиения P . Положим
W1 = sup f ([xi−1, x ]), W2 = sup f ([x , xi]).
Ясно, что W1 ≤ Mi и W2 ≤ Mi, где Mi = sup f ([xi−1, xi]). Значит
S(P, f ) − S(P , f ) = Mi(xi − xi−1) − W1(x − xi−1) − W2(xi − x ) = = (Mi − W1)(x − xi−1) + (Mi − W2)(xi − x ) ≥ 0.
Если P содержит на k точек больше, чем P , то мы повторим только что приведенное рассуждение k раз и получим первое соотношение. Доказательство второго соотношения аналогично.
С л е д с т в и е. При измельчении разбиения разность между верхней и нижней суммами Дарбу может только уменьшится, т.е. если P - измельчение разбиения P , то
S(P , f ) − s(P , f ) ≤ S(P, f ) − s(P, f ).
2.4 . Условие существования интеграла Римана
Лемма 2.1
Нижний интеграл Римана не превосходит верхнего, т.е.
f (x) dx ≤ f (x) dx.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть P — общее измельчение двух разбиений P1 и P2. По теореме об измельчении разбиения
s(P1, f ) ≤ s(P , f ) ≤ S(P , f ) ≤ S(P2, f ).
45
Значит, для любых разбиений P1 и P2 выполняется
s(P1, f ) ≤ S(P2, f ).
Считая P2 фиксированным и вычисляя точную верхнюю границу множества {s(P1, f )}, составленного по всевозможным разбиениям P1, получаем
f (x) dx ≤ S(P2, f ).
Вычисляя точную нижнюю границу S(P2, f ) по всем P2, получаем утверждение леммы.
Теорема 2.3
(Критерий существования интеграла Римана). Для существования интеграла Римана необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовало такое разбиение P сегмента [a, b], для которого разность верхней и нижней сумм Дарбу была бы меньше числа ε.
f (x) R[a, b] ( ε > 0)( P [a, b]) : S(P, f ) − s(P, f ) < ε.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть f (x) Rα[a, b],
т.е.
|
|
b |
|
f (x) dx = f (x) dx = |
f (x) dx. |
||
a
По определению точной нижней границы для любого ε > 0 существует разбиение P1, такое, что
1, f ) < |
P |
2 |
b |
2 |
|
|
a |
|
|||||
S(P |
inf S(P, f ) + |
ε |
= |
f (x) dx + |
ε |
. |
|
|
|||||
По определению точной верхней границы для любого ε > 0 существует разбиение P2, такое, что
2, f ) > |
P |
− 2 |
a |
b |
− |
2 |
|
|
s(P |
sup s(P, f ) |
|
ε |
= |
f (x) dx |
|
ε |
. |
|
|
|
|
|||||
46
Вычитая из первого неравенства второе, получаем
S(P1, f ) − s(P2, f ) < ε.
Пусть P - общее измельчение двух разбиений P1 и P2. Тогда
S(P, f ) − s(P, f ) ≤ S(P1, f ) − s(P2, f ) < ε.
Достаточность. Пусть выполняется
( ε > 0)( P [a, b]) : S(p, f ) − s(P, f ) < ε.
Сравнивая последнее неравенство с
s(P, f ) ≤ f (x) dx ≤ f (x) dx ≤ S(P, f ),
получаем
0 ≤ f (x) dx − f (x) dx < ε.
f (x) dx = f (x) dx, т.е.
Из равномерной непрерывности следует непрерывность в каждой точке, а значит и на множестве. Нижеследующая теорема дает достаточные условия, при которых из непрерывности функции на множестве следует ее равномерная непрерывность на этом множестве.
Теорема 2.4
(Теорема Кантора.) Если функция f (x) непрерывна на сегменте [a, b], то f (x) и равномерно непрерывна на [a, b].
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим противное, что f (x) не является равномерно непрерывной на [a, b], т.е.
( ε0 > 0)( δ > 0)( xδ E, tδ E, |xδ −tδ | < δ) : |f (xδ ) −f (xδ )| ≥ ε0.
Возьмем последовательность положительных чисел {δn}, δn → 0. Тогда
( δn > 0)( xn E, tn E, |xn − tn| < δn) : |f (xn ) − f (tn)| ≥ ε0.
Так как последовательность {xn } [a, b], то {xn} ограниченная и, следовательно, по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность xnk → x0 [a, b]. Ввиду непрерывности функции f (x) в точке x0 [a, b], мы имеем
f (xnk ) → f (x0). В силу неравенства |xnk − tnk | < δn также tnk → x0 и f (tnk ) → f (x0). Откуда
f (xnk ) − f (tnk ) → 0,
что противоречит предположению
|f (xn ) − f (tn)| ≥ ε0.
2.6 . Классы интегрируемых функций
Теорема 2.5
( Существование интеграла Римана от непрерывной функции). Если f (x) C[a, b], то f (x) R[a, b].
48
До к а з а т е л ь с т в о. Пусть задано число ε > 0, и пусть
η> 0, такое, что
(b − a)η < ε.
Поскольку f (x) непрерывна на [a, b], то по теореме Кантора она и равномерно непрерывна на [a, b], т.е.
( η > 0)( δ(η) > 0)( x [a, b], t [a, b], |x −t| < δ) : |f (x) −f (t)| < η.
Выберем разбиение P так, что |xi − xi−1| < δ, |
i = 1, 2, . . . , n. Тогда |
|||
Mi − mi < η |
(i = 1, 2, . . . , n). |
|||
Значит, |
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
S(P, f ) − s(P, f ) = |
|
|
i |
|
|
(Mi − mi)Δxi ≤ η |
(xi − xi−1) = |
||
|
i=1 |
|
|
=1 |
= η[(x1 − x0) + (x2 − x1) + · · · + (xn − xn−1)] = η(b − a) < ε.
Следовательно, функция f (x) R[a, b] согласно критерия существования интеграла Римана.
Теорема 2.6
(Существование интеграла Римана для монотонной функции). Если f (x) монотонна на [a, b], то f (x) R[a, b].
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть задано число ε > 0. Для любого n N выберем разбиение P так, что
xi = xi − xi−1 = b − a . n
Предположим теперь, что f (x) монотонно возрастает ( в другом
случае доказательство аналогично). Тогда |
|
|||||||
Mi = sup f ([xi−1, xi]) = f (xi), |
mi = inf f ([xi−1, xi]) = f (xi−1), |
|||||||
так что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||
|
|
S(P, f ) − s(P, f ) = |
i |
|
||||
|
|
(Mi − mi)Δxi = |
||||||
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
b − a |
n [f (x ) |
|
f (x )] = |
b − a |
[f (b) |
f (a)] < ε, |
|
|
n |
i |
− |
i−1 |
|
n |
− |
|
|
i |
|
||||||
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
если n достаточно велико, и f (x) R[a, b].
49
2.7 . Интеграл Римана как предел интегральных сумм
Определение 2.5
1) Для любого разбиения P сегмента [a, b] положим
μ(P ) = |
max |
xi = max{ x1, x2, . . . , xn } |
i |
и назовем μ(P ) диаметром разбиения P .
2) Пусть P — любое разбиение сегмента [a, b]. Выберем точки t1, t2, . . . , tn, такие, что ti [xi−1, xi]. Для ограниченной функции f (x) рассмотрим сумму
n
σ(P, f ) = f (ti)Δxi
i=1
и назовем ее интегральной суммой для функции f (x).
3)Число A называется пределом интегральной суммы, если
lim σ(P, f ) = A
μ(P )→0
( ε > 0)( δ(ε) > 0)( (P ) [a, b], μ(P ) < δ)( ti [xi−1, xi]) :
|σ(P, f ) − A| < ε.
Теорема 2.7
(Свойства интегральной суммы). Для интегральной суммы справедливы следующие соотношения
1) s(P, f ) ≤ σ(P, f ) ≤ S(P, f ).
2) s(P, f ) = inf σ(P, f ), S(P, f ) = sup σ(P, f ).
ti |
ti |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о |
|
1). Умножим обе части очевидного неравенства |
|
|
mi ≤ f (ti) ≤ Mi |
50 |
|