MMATHAN05

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем

= 0,

CA + D = 0,

1

−

2B + C + E = 0,

A = C = D = 0, B =

, E = 1.

2

−

A + D = 0,

E = 1,

Следовательно,

dx

=

1

+

dx

=

x(x2 + 1)2

2(x2 + 1)

x(x2 + 1)

1

1

1

1

d

+

dx

x2

=

=

−

=

2(x2 + 1)

x3

1 +

1

2(x2 + 1)

2

1 +

1

x2

x2

1

1

1

=

−

ln 1 +

+ C.

2(x2 + 1)

2

x2

Задание

Найти интегралы методом Остроградского.

1.

x dx

.

2.

2x + 12

dx.

(x − 1)2)(x + 1)3

(x2 + 4x + 8)2

dx

2

2

3.

.

4.

x + 3x −

(x3 − 1)2

(x − 1)(x2 + x + 1)2 .

Решения

1. Вычислим

x dx

.

(x − 1)2)(x + 1)3

Полагаем

x dx

=

Ax2 + Bx + C

+

Dx + E

dx.

(x − 1)2)(x + 1)3

(x − 1)(x + 1)2

(x − 1)(x + 1)

121

Дифференцируя последнее равенство по x, получаем

x	=
(x − 1)2(x + 1)3

= (2Ax + B)(x − 1)(x + 1) − [(x + 1) + 2(x − 1)](Ax2 + Bx + C) + (x − 1)2(x + 1)3

Dx + E

+ (x − 1)(x + 1) ,

или, после приведения к общему знаменателю

(Ax + B)(x2 − 1) − (Ax2 + Bx + C)(3x − 1)+ +(Dx + E)(x3 + x2 − x − 1) = x,

Dx4 + (−A + D + E)x3 + (A − 2B − D + E)x2+ +(−2A + B − 3C − D − E)x − B + C − E = x.

Откуда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, приходим к системе уравнений (с учетом что D = 0)

DA + E = 0,

−

= 0,

2B + E = 0,

A

−

2A + B

3C E = 1,

−B + C

−E = 0.

−

−

−

Из второго и

третьего уравнения выражаем E = A, B = A и

подставляем в последние два уравнения

−

−2A + C = 0,

−

8

4

2A − 3C = 1,

A =

1

, C =

1

.

−

Таким образом A = B = E =

1

, D = 0,

C = −

1

, и

−

8

4

x dx

= −

x2 + x + 2

1

dx

=

−

(x − 1)2)(x + 1)3

8(x − 1)(x + 1)2

4

(x − 1)(x + 1)

122

2 + x + 2

1

1

1

= −

x

+

−

dx =

8(x − 1)(x + 1)2

8

x + 1

x − 1

2

+ x + 2

1

x + 1

+ C.

= −

x

+

ln

8(x

1)(x + 1)2

8

x

−

1

−

2. Вычислим

2x + 12

dx.

(x2 + 4x + 8)2

Полагаем

2x + 12

dx =

Ax + B

+

Cx + D

dx.

(x2 + 4x + 8)2

x2 + 4x + 8

x2 + 4x + 8

Дифференцируя это равенство, получаем

2x + 12

=

A(x2 + 4x + 8) − (2x + 4)(Ax + B)

+

Cx + D

.

(x2 + 4x + 8)2

x2 + 4x + 8

(x2 + 4x + 8)2

Откуда

A(x2 + 4x + 8) −(2x + 4)(Ax + B) + (Cx + D)(x2 + 4x + 8) = 2x + 12.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравнений

= 0,

CA + D + 4C = 0,

−

2B + 4D + 7C = 2,

−

8A − 4B + 8D = 12.

Подставляем C = 0 и D = A в последние два уравнения системы.

2A

B = 1,

и A = B = D = 1, C = 0. Следовательно,

Тогда 4A

− B = 3

−

2x + 12

x + 1

dx

dx =

+

=

(x2 + 4x + 8)2

x2 + 4x + 8

x2 + 4x + 8

=

x + 1

+

dx

x + 1

1

x + 2

=

+

arctg

+ C.

x2 + 4x + 8

(x + 2)2 + 4

x2 + 4x + 8

2

2

123

3. Вычислим

dx

.

(x3 − 1)2

Представляем интеграл в виде

dx

2

+ Bx + C

Dx2

+ Ex + F

=

Ax

+

dx.

(x3 − 1)2

x3 − 1

x3 − 1

Дифференцируя это равенство, получаем

1

=

(2Ax + B)(x3 − 1) − 3x2(Ax2 + Bx + C) +

(x3 − 1)3

(x3 − 1)2

+ Dx2 + Ex + F dx, x3 − 1

(2Ax + B)(x3 − 1) − 3x2(Ax2 + Bx + C)+

+(Dx2 + Ex + F )(x3 − 1) = 1,

Dx5 + (−A + E)x4 + (−2B + F )x3 + (−3C − D)x2+ +(−2A − E)x − B − F = 1.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях будем

иметь:

D = 0,

B =

1 ,

A + E = 0,

A

= 0,

−

3

−

2B + F = 0,

C = 0,

−

3C + D = 0,

D = 0,

2A + E = 0,

1,

E = 0,

2

B F =

F =

−

−

−

−

3

и,

следовательно,

(x3 − 1)2

= 3(x3

− 1)

− 3

x3

− 1 .

dx

x

2

dx

Интеграл в правой части последнего равенства вычисляем методом неопределенных коэффициентов, полагая

1	=	a	+	bx + c
					.
x3 − 1		x − 1		x2 + x + 1

124

Тогда

a(x2 + x + 1) + (bx + c)(x − 1) = 1,

(a + b)x2 + (a − b + c)x + a − c = 1,

a =

1

,

a + b = 0,

3

a

b + c = 0,

b =

1 ,

−

−

3

a

−

c = 1,

2

c = −

3 .

Поэтому

dx

1

1

x + 2

dx =

=

−

x3 − 1

3

x − 1

x2 + x + 1

1

1

1

dx

=

ln |x − 1| −

ln(x2 + x + 1) −

=

3

6

2

1

2

3

x +

+

2

4

=

1

ln

(x − 1)2

1

2x + 1

+ C.

6

x2 + x + 1 − √3 arctg

√3

Окончательно получаем

(x3 − 1)2

=

dx

=

x

1

ln

(x − 1)2

+

2

2x + 1

+ C.

3(x3 − 1)

−

9

x2 + x + 1

3√3 arctg

√3

4. Вычислим

x2 + 3x − 2

(x − 1)(x2 + x + 1)2

.

Положим

x2 + 3x − 2

= Ax + B

+

Cx2 + Dx + E

(x − 1)(x2 + x + 1)2

x2 + x + 1

(x − 1)(x2 + x + 1)

dx.

125

Дифференцируя это равенство, последовательно получаем

		x2 + 3x − 2		=
		(x − 1)(x2 + x + 1)2
	A(x2 + x + 1) − (2x + 1)(Ax + B)		+	Cx2 + Dx + E	,
	x2 + x + 1			(x − 1)(x2 + x + 1)

A(x3 − 1) − (Ax + B)(2x2 − x − 1)+ +(Cx2 + Dx + E)(x2 + x + 1) = x2 + 3x − 2,

Cx4 + (−A + C + D)x3 + (A − 2B + C + D + 2E)x2+ +(A + B + D + E)x − A + B + E = x2 + 3x − 2,

A =

5

,

C = 0,

C = 0,

3

A + D = 0,

D = A,

B = 2 ,

−

3

A 2B + D + E = 1,

2A 2B + E = 1,

−

−

C = 0,

A + B + D + E = 3,

2A + B + E = 3,

5

A + B + E =

2,

A + B + E =

2,

D =

,

−

−

3

−

−

1,

E =

−

2

x

+ 3x − 2

=

(x − 1)(x2 + x + 1)2

5x + 2

1

5x

3

=

+

−

dx.

3(x2 + x + 1)

3

(x − 1)(x2 + x + 1)

Последний интеграл вычисляем методом неопределенных коэффициентов:

	5x − 3	=	a	+	bx + c	,
	(x − 1)(x2 + x + 1)		x − 1		x2 + x + 1

a(x2 + x + 1) + (bx + c)(x − 1) = 5x − 3, (a + b)x2 + (a − b + c)x + a − c = 5x − 3,

126

a + b = 0,

a − b + c = 5,

a − c = −3,

b = −a,

2 2 11

2a + c = 5, a = 3 , b = −3 , c = 3 ,

a − c = −3,

5x 3

dx =

1

2

2x − 11

dx =

(x − 1)(x2−+ x + 1)

3

x − 1 − x2 + x + 1

=

2

ln |x

− 1| −

1

2x + 1

dx

+ 4

dx

=

3

3

x2 + x + 1

x2 + x + 1

2

1

dx

=

ln |x − 1| −

ln(x2 + x + 1) + 4

=

3

3

x +

1

2

3

+

2

4

=

1

ln

(x − 1)2

+

8

2x + 1

+ C.

3

x2 + x + 1

√3 arctg

√3

Окончательно получаем

x2 + 3x − 2

=

(x − 1)(x2 + x + 1)2

=

5x + 2

+

1

ln

(x − 1)2

+

8

2x + 1

+ C.

3(x2 + x + 1)

9

x2 + x + 1

3√3 arctg

√3

Задачи для самостоятельной работы

1.

(x3

+ 1)2 .

2.

(x2

+ 1)3 .

dx

dx

3.

x2 dx

.

4.

dx

.

(x + 1)2(x2 + 1)2

(x2 + 2x + 2)2

Ответы

x

+

1

ln

(x + 1)2

+

2

2x − 1

+ C

3x3 + 5x

+

1.

.

2. 8(x2 + 1)2

3(x2 + 1)

9

x2

−

x + 1

3

√

arctg

√

3

3

1

3

2

+ x

+

x+C

+

(x+1)+C

−x

8 arctg

. 3. x2 + 2x + 2

arctg

.

4. 4(x + 1)(x2 + 1)

−

1

1

−

ln(x + 1)2(x2 + 1) +

arctg x.

4

4

127

Занятие 10. Интегрирование тригонометрических функций

Задание

Найти интегралы.

1.sin2 x cos4 x dx.

3.cos4 x dx. sin3 x

5.		sin3 x cos5 x .
		dx
7.		sin(x + a) sin(x + b) .
		dx

2.sin4 x cos5 x dx.

dx

4. cos3 x .

6.ctg 6x dx.

sin x − cos x

8.sin x + 2 cos x dx.

9.

Вывести формулу понижения для интеграла In =

sinn x dx

(n > 2) и с ее помощью вычислить

sin6 x dx.

10.

Вывести формулу понижения для интеграла Kn =

dx

dx

cosn x

(n > 2) и с ее помощью вычислить

dx

dx.

cos7 x

Решения

1

1

1.

sin2 x cos4 x dx =

sin2 2x cos2 x dx =

sin2

2x(1 + cos 2x) dx =

4

8

=

1

(1−cos 4x) dx+

1

sin2 2x d sin 2x =

x

−

sin 4x

+

sin3 2x

+C.

16

16

16

64

48

2.sin4 x cos5 x dx = sin4 x(1 − sin2 x)2 d sin x =

= (sin4 x −2 sin6 x + sin8 x) d sin x =	sin5 x	+	2 sin7 x		+	sin9 x	+ C.
	5		7			9
128

3.

cos3 x dx =

u = cos3 x,

du =

−

3 cos2 x sin x dx

=

cos x

1

4

sin

x

dv =

dx,

v = −

sin3 x

2 sin2 x

=

cos3 x

3

cos2 x

dx = −

cos3 x

+

3

sin x dx−

3

dx

=

−

−

2 sin2 x

2

sin x

2 sin2 x

2

2

sin x

=

−

cos3 x

3

cos x −

3

dx

= −

cos3 x

3

cos x −

−

−

2 sin2 x

2

2

2 sin

x

cos

x

2 sin2 x

2

2

2

3

d tg

x

3

3

3

x

−

2

cos

x

−

tg

+ C.

2

tg x = −2 sin2 x

2 cos x −

2 ln

2

2

4.

dx

=

cos2 x + sin2 x

dx =

dx

+

sin2 x

=

dx

cos3 x

cos3 x

cos x

cos3 x

=

u = sin x,

du = cos x dx

cos x + 2 cos2 x

sin x

1

=

dx

sin x

−

dv =

dx

v =

cos3 x

cos2 x

−

1

dx

=

sin x

+

1

dx

=

sin x

+

1

dx

=

2

cos x

2 cos2 x

2

cos x

2 cos2 x

2

sin

x +

π

=

sin x

1

tg

x

π

+ C.

2

2 cos2 x

+ 2 ln

2

+ 4

dx

d tg x

d tg x

5.

=

= 8

=

sin3 x cos5 x

sin3 x cos3 x

(sin 2x)3

= sin 2x =

2 sin x cos x

=

2 tg x

= 8

( tg 2x + 1)3

d tg x =

cos2 x + sin2 x

1 + tg 2x

(2 tg x)3

3

1

= tg 3x + 3 tg x +

+

d tg x =

tg x

tg 3x

=

tg 4x

+

3 tg x

−

1

+ 3 ln | tg x| + C.

4

2

2 tg 2x

6.

ctg 6x dx =

ctg 4x

1

−

1 dx

= −

ctg 4x

dx

−

sin2 x

sin2 x

129

−

ctg 4x dx = −

ctg

5x

−

ctg 2x

1

− 1 dx = −

ctg

5x

−

5

sin2 x

5

−

ctg 2x sin2 x +

ctg 2x dx = −

5

5x

+

3

3x

+

dx

ctg

ctg

+

1

− 1 dx = −

ctg

5x

+

ctg

3x

− ctg x

− x + C.

sin2 x

5

3

dx

=

1

sin[(x + a) − (x + b)]

dx =

7.

sin(x + a) sin(x + b)

sin(a − b)

sin(x + a) sin(x + b)

1

sin(x + a)

cos(x + b) cos(x + a) sin(x + b)

=

−

dx

=

sin(a − b)

sin(x + a) sin(x + b)

=

1

cos(x + b)

−

cos(x + a)

dx

=

sin(a − b)

sin(x + b)

sin(x + a)

=

1

ln

sin(x + b)

+ C.

sin(a

−

b)

sin(x + a)

8.

Вычислить

sin x − cos x

dx

sin x + 2 cos x .

При вычислении этого интеграла представим числитель дроби sin x − cos x

sin x + 2 cos x как линейную комбинацию знаменателя и производной от знаменателя, полагая

sin x − cos x = A(sin x + 2 cos x) + B(cos x − 2 sin x).

Для нахождения A и B приравняем коэффициенты при sin x и cos x. Получаем:

2A−+ B =		1,	A = −5 , B = −	5 .
A	2B =	1,	1	3

−

130