MMATHAN05

x и y, a ≤ x < y ≤ b, имеем

y	x		y	y
F (y) = a	f (t) dt = a	f (t) dt + x		f (t) dt = F (x) + x	f (t) dt.
Откуда
		y		y

|F (y) − F (x)| =	f (t) dt	≤ |f (t)| dt ≤ M (y − x).

x

x

Мы видим, что для данного ε > 0

|F (y) − F (x)| < ε,

если только |y −x| < Mε = δ(ε). Этим доказана непрерывность функции F (x) (а точнее, равномерная непрерывность на сегменте [a, b]).

Теорема 2.13

(Дифференцирование интеграла как функции верхнего предела).

Пусть f (x) C[a, b]. Тогда функция

x
F (x) = a	f (t) dt,	x [a, b],

дифференцируема в любой точке x0 [a, b] и

F (x0) = f (x0).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как функция f (x) непрерывна в точке x0 [a, b], то

( ε > 0)( δ > 0)( u [a, b], |u − x0| < δ) : |f (u) − f (x0)| < ε.

61

Тогда при x0 − δ < s ≤ x0 ≤ t < x0 + δ и a ≤ s < t ≤ b имеем

F (t) − F (s)

f (x0)

=

1

t

f (u) du

1

t

f (x0) du

=

−

s

− t

s

t

−

s

t

−

−

t

s

t

s

1

1

=

[f (u)

f (x0)] du

f (u)

f (x0) du <

s

−

s

−

t

−

≤ t

−

|

|

s

s

1

<

ε(t − s) = ε.

t

−

s

Если положить s = x0, то

lim

F (t) − F (x0)

= F+(x0) = f (x0).

t→x0

t − x0

Если положить t = x0, то

lim

F (s) − F (x0)

= F (x0) = f (x0).

s

→

x0

s − x0

−

Следовательно, F (x0) = f (x0).

Если x0

= a или x0

= b, то под производной F (a) или F (b)

подразумеваем односторонние производные.

З а м е ч а н и е. Последняя теорема фактически устанавливает существование первообразной для непрерывной функции.

2.12 . Основная теорема интегрального исчисления

Теорема 2.14

Если f (x) R[a, b] и существует первообразная F (x) для функции f (x) на [a, b], то

	b	b
		f (x) dx = F (x) a = F (b) − F (a).	(2.1)
a

62

Формулу (2.1) называют формулой Ньютона—Лейбница.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для данного разбиения P сегмента [a, b] выберем точки ti (i = 1, 2, . . .) так, что xi−1 ≤ ti ≤ xi и

F (xi) − F (xi−1) = f (ti)(xi − xi−1).

Это возможно по теореме Лагранжа. Тогда

	n		n
F (b) − F (a) =	i
	[F (xi) − F (xi−1)] =		f (ti)Δxi ,
	=1		i=1
	b
а последняя сумма стремится к a		f (x) dx, когда μ(P ) → 0.

2.13 . Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле

Теорема 2.15

(Замена переменной в определенном интеграле) Пусть выполнены следующие условия:

1)функция f (x) непрерывна на сегменте [a, b],

2)сегмент [a, b] является множеством значений некоторой функции x = x(t), определенной на сегменте α ≤ t ≤ β и имеющей на этом сегменте непрерывную производную x (t),

3)x(α) = a, x(β) = b.

При этих условиях справедлива формула замены переменной

b

β

f (x) dx =	f (x(t))x (t) dt.	(2.2)
a	α

До к а з а т е л ь с т в о. Пусть F (x) — первообразная для f (x).

Содной стороны, по формуле Ньютона—Лейбница имеем

b

f (x) dx = F (b) − F (a).

(2.3)

a

63

С другой стороны,

dtd F (x(t)) = F (x(t))x (t) = f (x(t))x (t).

Следовательно, F (x(t)) является первообразной для f (x(t))x (t) на сегменте [α, β] и, поэтому, согласно формуле Ньютона—Лейбница

β
α	f (x(t))x (t) dt = F (x(β)) − F (x(α)).
Откуда, в силу условия 3) теоремы
	β
	α	f (x(t))x (t) dt = F (b) − F (a).	(2.4)

Сравнивая (2.3) с (2.4), получаем формулу (2.2). П р и м е р ы

a

1) Вычислить интеграл x2 a2 − x2 dx (a > 0).

0

Полагаем x = a sin t. Тогда dx = a cos t dt. Значения пределов интегрирования при замене изменяются: если x = 0, то t = 0; если

π

x = a, то t = 2 . Следовательно,

				π		π
	a	2			a4	2
	x2	a2 − x2 dx = a2 sin2 t a2 cos2 t dt =				sin2 2t dt =
					4

0			0
		π
	a4	2						a4
=		0	(1 − cos 4t) dt =							t −
	8							8
				1		x dx
2)Вычислить интеграл					√						.
						5	−		4x
			−	1

			0
		π
	sin 4t	2		a4π
		0	=
	4			16 .

64

		Полагая t = √								, получаем
								5 − 4x
									x =		5 − t2		, dx =					−		t dt	,
																				2
									4
	1						1		t(5 − t2)				1		3							1			t3	3		1
			x dx			=	−					dt =				(5			t2) dt =				5t			1	=		.
		√5		−	4x				8t				8				−					8		−	3			6
−	1						3								1

Теорема 2.16

(Формула интегрирования по частям). Пусть функции u(x) и v(x)

имеют непрерывные производные на сегменте [a, b]. Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям для определенного интеграла:

b		b			b
	u(x)v (x) dx = u(x)v(x) a −				v(x)u (x) dx.
a				a
Чаще эту формулу записывают так:
	b	b		b
		u dv = uv a −		v du.		(2.5)
	a		a

Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция u(x)v(x) является первообразной для функции u(x)v (x) + v(x)u (x). Поэтому

	b	b
		[u(x)v (x) + v(x)u (x)] dx = u(x)v(x) a.
a

Откуда и получается доказываемая формула.

П р и м е р ы
e	ln x dx = u = ln x,	u =	dx
1)
			x
	dv = dx,	v = x
1

= x ln x	e	−
	1

	e	e
		dx = e −x 1 = 1.
1

65

		2π	x2 cos x dx = !	u = x2,	du = 2x dx	" =
	2)	0
				dv = cos x dx,	v = sin x

2π

= x2 sin x

0

2π

= 2x cos x

0

2π			! dv = sin x dx,	v = cos x "	=
−	2x sin x dx =
			u = 2x,	du = 2dx
0				−
	2π
+ 2	0	cos x dx = 4π.

2.14 . Теоремы о среднем

Теорема 2.17

(Первая теорема о среднем для интегрального исчисления). Пусть

1) f (x) R[a, b] и g(x) R[a, b],

2)для всех x [a, b] выполняется m ≤ f (x) ≤ M ,

3)g(x) ≥ 0 (или g(x) ≤ 0) на [a, b].

Тогда существует число μ, m ≤ μ ≤ M , такое, что

b

b

f (x)g(x) dx = μ	g(x) dx.
a	a

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f (x) R[a, b] и g(x) R[a, b]. Тогда произведение f (x)g(x) R[a, b]. Положим g(x) ≥ 0 (для g(x) ≤ 0 доказывается аналогично ). Тогда, умножая равенство

m ≤ f (x) ≤ M

на неотрицательную функцию g(x), получаем

mg(x) ≤ f (x)g(x) ≤ M g(x)

или после интегрирования

b	b	b
m a	g(x) dx ≤ a	f (x)g(x) dx ≤ M a	g(x) dx.
66

b

Так как g(x) ≥ 0, то g(x) dx ≥ 0. Возможны 2 случая:

a

b

b

1.g(x) dx = 0. Тогда f (x)g(x) dx = 0 и утверждение теоремы

a

a

выполняется при любом μ.

b

2.g(x) dx > 0. Тогда

a
				b
			m ≤	a	f (x)g(x) dx			≤ M
					a		b
							g(x) dx
и, полагая
	b
	a	f (x)g(x) dx					= μ (m ≤ μ ≤ M ),
		b
		a	g(x) dx
получаем
			b				b
			f (x)g(x) dx = μ					g(x) dx.
			a				a

С л е д с т в и е 1. Если f (x) R[a, b] и m ≤ f (x) ≤ M , тогда существует число μ, m ≤ μ ≤ M , такое, что

b

f (x) dx = μ(b − a).

a

67

Это утверждение получается из теоремы, если положить g(x) ≡ 1.

Следствие 1 допускает простое геометрическое толкование (Рис. 2.2).

μ
ξ	ξ	ξ
Рис. 2.2

Пусть f (x) ≥ 0. Рассмотрим криволинейную трапецию ABCD, образованную кривой y = f (x), отрезком [a, b] оси x и отрезками прямых x = a, x = b. Тогда площадь этой криволинейной трапеции (выражаемая интегралом) равна площади прямоугольника ABC1D1 с тем же основанием и высотой μ, где m ≤ μ ≤ M .

С л е д с т в и е 2. Если f (x) C[a, b] и g(x) R[a, b], где g(x) ≥ 0 (или g(x) ≤ 0), то существует точка ξ [a, b], такая, что

b

b

f (x)g(x) dx = f (ξ)	g(x) dx.
a	a

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если f (x) C[a, b], то f (x) R[a, b] и, следовательно, f (x)g(x) R[a, b]. По второй теореме Вейерштрасса для непрерывных функций f (x) достигает своей точной M и точной нижней m грани, т.е. существуют точки c [a, b] и d [a, b], такие,

что

m = f (c), M = f (d),

и m ≤ f (x) ≤ M . По теореме о среднем существует μ, m ≤ μ ≤ M , такое, что

b

b

f (x)g(x) dx = μ	g(x) dx,
a	a

68

и по второй теореме Коши о непрерывных функциях это промежуточное значение μ, f (c) ≤ μ ≤ f (d), принимается в некоторой точке x = ξ, ξ [a, b]. Тогда

b

b

f (x)g(x) dx = f (ξ) g(x) dx.

a	a
С л е д с т в и е 3.	Если f (x) C[a, b], то существует точка
ξ [a, b], такая, что

b

f (x) dx = f (ξ)(b − a).

a

Для доказательства этого факта достаточно в следствии 2 положить g(x) ≡ 1.

Геометрический смысл последней формулы также простой. Если f (x) ≥ 0, то площадь криволинейной трапеции ABCD (рис. 2.2) равна площади прямоугольника ABC1D1 с высотой f (ξ) ( при этом точка ξ определяется неоднозначно).

Приведем следующую теорему без доказательства.

Теорема 2.18

(Вторая теорема о среднем для интегрального исчисления). Если функция f : [a, b] → R монотонна на [a, b], а g(x) R[a, b], то существует точка ξ [a, b], такая, что

b	ξ	b
a	f (x)g(x) dx = f (a) a	g(x) dx + f (b) ξ	g(x) dx.

2.15. Интеграл Римана—Стильтьеса

Определение 2.8. Пусть f : [a, b] → R — ограниченная функция на сегменте [a, b] и α(x) — монотонно возрастающая (в широком смысле) функция на [a, b] (поскольку α(a) и α(b) конечны,

69

функция α ограничена на [a, b]). Если P — какое нибудь разбиение сегмента [a, b], то положим

αi = α(xi) − α(xi−1).

Составим верхнюю и нижнюю суммы Дарбу

	n		n
S(P, f, α) =		Mi αi, s(P, f, α) =	i	αi,
			mi
	i=1		=1

где Mi = sup f ([xi−1, xi]), mi = inf f ([xi−1, xi]). Верхним и нижним интегралами Римана-Стильтьеса называют величины

f dα = P			P
	inf S(P, f, α),		f dα = sup s(P, f, α).

Если верхний и нижний интегралы Римана-Стильтьеса совпадают, то эту величину называют интегралом Римана-Стильтьеса и обозначают

b

b

	f dα или		f (x) dα(x).
a			a
Таким образом
	b
	f dα = f dα = f dα.

a

b

Если интеграл f (x) dα(x) существует, то мы будем говорить,

a

что f интегрируема на [a, b] относительно α(x) в смысле Римана и писать

f (x) Rα[a, b].

Полагая α(x) ≡ x, мы приходим к выводу: что интеграл Римана

—это частный случай интеграла Римана—Стильтьеса.

Вобщем случае α(x) не обязана быть непрерывной.

70