MMATHAN05

Таким образом,

1

(sin x + 2 cos x) −

3

(cos x − 2 sin x)

sin x − cos x

−

dx =

dx =

5

5

sin x + 2 cos x

sin x + 2 cos x

=

1

1 + 3

cos x − 2 sin x

dx =

x

3

d(sin x + 2 cos x)

=

−5

sin x + 2 cos x

−5

− 5

sin x + 2 cos x

= −x5 − 35 ln | sin x + 2 cos x| + C.

9. In =	sinn x dx =
u = sinn−1 x,		du = (n − 1) sinn−2 x cos x dx,					" =
= ! dv = sin x dx,		v =	−	cos x
= − cos x sinn−1 x + (n − 1)						cos2 x sinn−2 x dx =
= − cos x sinn−1 x + (n − 1)						(sinn−2 x − sinn x) dx.

Получили уравнение относительно In :

In = − cos x sinn−1 x + (n − 1)In−2 − (n − 1)In.

Откуда								1											n − 1
				I =						cos x sinn−1 x +												I					.							(3.5)
																							n−2
				n		−n													n
Применяя последовательно (3.4), вычислим интеграл																															sin6 x dx.
		I6 =										1											5
					sin6 x dx = −										cos x sin5 x +										I4				=
													6											6
			1			5						1											3							=
		= −		cos x sin5 x +								−				cos x sin3 x +												I2
			6								6				4											4
	1					5											15	1													1			=
= −		cos x sin5 x −							cos x sin3 x +									−			cos x sin x +												I0
	6						24										24			2												2
																																		131

= −16 cos x sin5 x − 245 cos x sin3 x − 165 cos x sin x + 165 x + C.

10. Kn =

cosn x =

dx

=

cos

2 x + sin2 x

dx = Kn−2 +

sin2 x

dx =

cosn x

cosn x

= u =

sin x,

du = cos x dx

sin x

1

=

dv =

dx, v =

cosn x

(n

−

1) cosn−1 x

= Kn−2 +

sin x

−

1

dx

.

(n − 1) cosn−1 x

n − 1

cosn−2 x

Получили уравнение

Kn = Kn−2 +

sin x

−

1

Kn−2.

(n − 1) cosn−1 x

n − 1

Откуда

sin x

n − 2

Kn =

+

Kn−2.

(3.6)

n

1

Тогда

(n − 1) cos −

x

n − 1

K7 =

dx

sin x

5

dx =

+

K5

=

cos7 x

6 cos6 x

6

=

sin x

+

5

sin x

+

3

K3 =

6 cos6 x

6

4 cos4 x

4

sin x

5 sin x

15

sin x

1

dx

=

=

+

+

+

6 cos6 x

24

cos4 x

24

2 cos2 x

2

cos x

=

sin x

5

sin x

15

sin x

15

tg

x

π

+ C.

6 cos6 x +

24 cos4 x

+ 48 cos2 x +

48 ln

2 +

4

132

Задачи для самостоятельной работы

1.sin5 x cos5 x dx.

3.		sin3 x .
		dx
5.		dx
			.
		sin x cos4 x
7.		sin(x + a) cos(x + b) .
		dx

sin3 x

2.cos4 x dx.

dx

4. sin4 x cos4 x .

6.cos x cos 2x cos 3x dx.

sin x

8.sin x − 3 cos x .

9. Вывести формулу понижения для интеграла Kn =

cosn x dx

(n > 2) и с ее помощью вычислить

cos8 x dx.

10. Вывести формулу понижения для интеграла

In =

dx

dx

sinn x

(n > 2) и с ее помощью вычислить

dx

dx.

sin5 x

Ответы

1.

−

cos 2x

+

cos3 2x

−

cos5 2x

+C. 2.

1

−

1

+C. 3. −

cos x

+

64

96

320

3 cos3 x

cos x

2 sin2 x

+

1

ln

tg

x

+ C. 4.

8 ctg 2x

8

ctg 32x + C. 5.

1

+

1

+

2

x

2

C

x−

sin 2x

− sin 4x

+

sin 6x

+ C

+ ln

+

+

+

cos x

tg

3

3 cos3 x

. 6.

.

4

8

16

x

24

3

12

sin(x + a)

7.

ln

+ C.

8.

+

ln

sin x

3 cos x

+

b)

cos(x + b)

10

10

|

−

cos(a

−

|

1

n

1

1

C. 9. Kn

=

sin x cosn−1 x +

−

Kn

−

2, K8

=

sin x cos7 x +

n

8

7

n

35

35

sin x cos5 x +

sin x cos3 x +

35

sin x cos x +

x

+ C. 10. In =

48

192

128

128

cos x

+

n − 2

I

n−2,

I

=

cos x

3

cos x

+

3

ln

tg

x

+

−

(n − 1) sinn−1 x

−4 sin4 x

−

8

2

n − 1

5

8 sin2 x

+ C.

133

Занятие 11. Интегрирование тригонометрических функций

Задание

Найти интегралы.

1.		8 − 4 sin x + 7 cos x .
		dx
3.		sin2 x + tg 2x .
		dx
5.		sin2 x − cos2 x	dx
		sin6 x + cos6 x .
		sin 2x
7.					dx.
		21 + 16 cos x − 4 sin2 x

2.		cos x + 2 sin x + 3 .
		dx
4.		sin4 x + cos4 x .
		dx
6.		dx
			.
		(2 − sin x) cos x

sin x

8.√2 + sin x + cos x dx.

Интегралы вида R(sin x, cos x) dx, где R — рациональная

функция, приводятся к интегрированию рациональных функций с x

помощью универсальной подстановки tg 2 = t, при этом

2 sin

x

cos

x

2 tg

x

2t

sin x = 2 sin

x

cos

x

=

2

2

=

2

=

,

2

2

cos2

x

+ sin2

x

1 + tg 2

x

1 + t

2

2

2

2

cos2

x

− sin2

x

1 − tg

2

x

1 − t2

x

x

=

=

cos x = cos2

−

sin2

2

2

2

=

,

2 x

2 x

1 + t2

2

2

2 x

cos

+ sin

1 + tg

2

2

2

x = 2 arctg t,

dx =

2 dt

.

1 + t2

Приведем случаи, когда подынтегральная функция приводится к рациональной дроби более простым способом.

134

I. Подынтегральная функция — четная относительно обоих аргументов, т.е.

R(− sin x, − cos x) ≡ R(sin x, cos x).

Тогда применяется подстановка tg x = t.

II. Подынтегральная функция — нечетная относительно sin x, т.е.

R(− sin x, cos x) ≡ −R(sin x, cos x).

Применяется подстановка cos x = t.

III. Подынтегральная функция — нечетная относительно cos x,

т.е.

R(sin x, − cos x) ≡ −R(sin x, cos x).

Применяется подстановка sin x = t.

Решения

1. Вычислим	dx
		.
	8 − 4 sin x + 7 cos x

Подынтегральная функция не удовлетворяет ни одному из

случаев I-III. Поэтому применяем универсальную подстановку x

tg 2 = t. Имеем

8 − 4 sin x + 7 cos x =

(1 + t2)

8

8t

+ 7(1 − t2) =

dx

2 dt

−

1 + t2

1 + t2

= 2

dt

= 2

dt

=

1

1

dt =

−

t2 − 8t + 15

(t − 5)(t − 3)

t − 5

t − 3

5

tg

x

−

5

+ C.

= ln

t

−

+ C = ln

x

2

t

−

3

tg

2

−

3

2. Вычислим

dx

.

cos x + 2 sin x + 3

135

Применяя универсальную подстановку tg

x

= t, получаем

2

dx

2 dt

=

=

cos x + 2 sin x + 3

(1 + t2)

1 − t2

+

4t

+ 3

1 + t2

1 + t2

=

dt

=

dt

=

t2 + 2t + 2

(t + 1)2 + 1

= arctg (t + 1) + C = arctg tg

x

+ 1 + C.

2

3.

Вычислим

dx

.

sin2 x + tg 2x

Так как R(− sin x, − cos x) ≡ R(sin x, cos x), то полагаем tg x = t.

Тогда

tg x = t,

x = arctg x,

dx =

dt

,

1 + t2

1

= 1 + t2,

sin2 x = tg 2x · cos2 x =

t2

,

cos2 x

1 + t2

sin2 x + tg 2x =

2

dtt2

2

=

2t2

+ t4

=

dx

dt

(1 + t )

+ t

1 + t2

dt

1

1

1

=

=

−

dt =

t2(t2 + 2)

2

t2

t2 + 2

1

1

1

t

1

1

tg x

=

−

− √

arctg √

+ C =

−

ctg x −

2√

arctg

√

+ C.

2

t

2

2

2

2

2

dx

4. Вычислим sin4 x + cos4 x . Применяя формулы

	sin2 x =	1 − cos 2x	,	cos2 x =	1 + cos 2x	,
		2			2

136

имеем

sin4 x + cos4 x =

1

cos 2x

2

1

cos 2x

2

−

+

−

=

2

2

1

1 + cos2 2x

=

(2 + 2 cos2 2x) =

4

2

и

sin4 x + cos4 x = 2

1 + cos2

2x .

dx

dx

1

Полагая R(sin 2x, cos 2x) =

, замечаем, что подын-

1 + cos2 2x

тегральная функция четная относительно аргументов sin 2x и

cos 2x. Поэтому сделаем замену tg 2x = t.

sin4 x + cos4 x = 2

1 + cos2

2x =

(1 + t2)

1 +

1

=

dx

dx

dt

=

= √2 arctg √2 + C = √2 arctg

1 + t2

t2 + 2

√2

+ C.

dt

1

t

1

tg

2x

sin2 x − cos2 x

dx

5. Вычислим sin6 x + cos6 x .

Преобразуя подынтегральную функцию, имеем

sin6 x + cos6 x =

1

((1 − cos 2x)3 + (1 + cos 2x)3) =

8

1

=

(1 − 3 cos 2x + 3 cos2 2x − cos2 x+

8

1

+1 + 3 cos 2x + 3 cos2 2x + cos2 x) =

(1 + 3 cos2 2x),

4

sin2 x − cos2 x

dx =

−

4

cos 2x

dx.

1 + 3 cos2 2x

sin6 x + cos6 x

Так как подынтегральная функция нечетная относительно cos 2x,

то, полагая sin 2x = t, получаем

sin2 x − cos2 x

dx =

−

4

cos 2x

dx =

−

2

d sin 2x

=

1 + 3 cos2 2x

sin6 x + cos6 x

4 − 3 sin2 2x

137

= 2

3t2 − 4 = 2

(√3t − 2)(√3t + 2) =

dt

dt

1

1

1

1

√

t − 2

=

dt =

ln

3

+ C =

2

√3t

−

2 − √3t + 2

2√3

√3t + 2

12 − √3 sin 2x

=2√3 ln 2 + √3 sin 2x + C.

6.

Вычислим

dx

.

(2 − sin x) cos x

Подынтегральная функция нечетная относительно cos x. Пола-

гая sin x = t, находим

dx

=

cos x dx

=

dt

,

(2 − sin x) cos x

(2 − sin x)(1 − sin2 x)

(t − 2)(t2 − 1)

1

=

A

+

B

+

C

,

(t − 2)(t2

− 1)

t

− 2

t + 1

t − 1

A(t2 − 1) + B(t − 2)(t − 1) + C(t − 2)(t + 1) = 1,

t = 2, 3A = 1, A =

1

,

3

t =

−1, 6B = 1, B =

1

,

6

t = 1, −2C = 1, C =

1

−

,

2

dx

=

1

+

1

−

1

dt =

(2 − sin x) cos x

3(t − 2)

6(t + 1)

2(t − 1)

1

1

1

=

ln |t −

2|

+

ln |t + 1| −

ln |t −

1| + C =

3

6

2

1

ln

(sin x + 1)(sin x

2)2

+ C.

=

(sin x

−

6

−

1)3

7.

Вычислим

sin 2x

dx.

21 + 16 cos x − 4 sin2 x

138

Подынтегральная функция нечетная относительно sin x. Полагаем cos x = t.

sin 2x

=

2 cos x sin x dx

=

dx

21 + 16 cos x − 4 sin2 x

21 + 16 cos x − 4(1 − cos2 x)

=

2t dt

=

1

(8t + 16) − 16

dt =

−

4t2 + 16t + 17

−

4

4t2 + 16t + 17

1

(4t4 + 16t + 17)

dt

= −

d

= 4

=

4

4t2 + 16t + 17

4t2 + 16t + 17

= −

1

ln(4t2 + 16t + 17) + 4

dt

=

4

(2t + 4)2 + 1

=−14 ln(4 cos2 x + 16 cos x + 17) + 2 arctg (2 cos x + 4) + C.

sin x

8.Вычислим √2 + sin x + cos x dx.

Представим числитель sin x в виде линейной комбинации знаменателя √2 + sin x + cos x, его производной и константы, т. е.

sin x = A(√2 + sin x + cos x) + B(cos x − sin x) + C.

Приравняв коэффициенты перед sin x, cos x и свободные коэффициенты, получаем систему для нахождения коэффициентов A,

B и C

A + B = 0,

A − B = 1,

√2 A + C = 0,

1

1

1

откуда A =

, B = −

, C =

−√

. Поэтому

2

2

2

sin x

√

+ sin x + cos x dx =

2

139

				1					√			1																1
							(			2 + sin x + cos x) −													(cos x − sin x) − √
					2																	2
		=																														2		dx =
																			√		+ sin x + cos x
																				2
	1						1							√					+ sin x + cos x)						1
																	2															dx
=			dx −										d(√					+ sin x + cos x						− √					√		+ sin x + cos x				=
	2							2
																2										2				2
		= 2		−		2 ln |√2 + sin x + cos x| −																		√2			√2 + sin x + cos x .
			x			1																		1							dx

Последний интеграл обычно вычисляют с помощью универсаль- x

ной подстановки tg 2 . Но в данном случае его можно вычислить проще. Действительно,

√2 + sin x + cos x = √2

1 + cos x − 4

= 2√2 cos2

2 −

8

,

cos2

π

x

π

√2

√2 + sin x + cos x

= 4

x

π

= 2 tg

2

− 8

+ C.

1

dx

1

dx

1

x

π

−

2

8

Окончательно получаем

√

sin x

=

+ sin x + cos x dx

2

x

1

1

x

π

=

−

ln |√2 + sin x + cos x| −

tg

−

+ C.

2

2

2

2

8

Задачи для самостоятельной работы

1.		2 sin x − cos x + 5 .
		dx
3.		sin2 x
			dx.
		1 + sin2 x
5.		sin x dx
				.
		sin3 x + cos3 x

2.		dx
				.
		(2 + cos x) sin x
4.		a2 sin2 x + b2 cos2 x .
		dx
6.		sin2 x − cos2 x	dx
		sin4 x + cos4 x .

140