MMATHAN05

Решения

1. Вычислить

x2 + 1

dx.

(x + 1)2(x − 1)

Разложение дроби

x2

+ 1

в сумму простейших имеет

(x + 1)2(x − 1)

вид

x2 + 1

=

A

+

B

+

C

.

(x + 1)2(x − 1)

(x + 1)2

x + 1

x − 1

Отсюда следует

A(x − 1) + B(x2 − 1) + C(x + 1)2 = x2 + 1,

(B + C)x2 + (A + 2C)x − A − B + C = x2 + 1.

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях x, получим

A + 2C = 0,

B

+ C = 1,

A

−

B + C = 1.

−

Складываем почленно все уравнения этой системы. Тогда 4C = 2

1

1

и

C =

. Из первого уравнения следует B =

, из второго следует

2

2

A = −1. Следовательно,

x2 + 1

−

1

1

1

dx =

dx =

+

+

(x + 1)2(x − 1)

(x + 1)2

2(x + 1)

2(x − 1)

1

+

1

ln |x2 − 1| + C.

=

x + 1

2

2. Вычислить

x dx

.

(x − 1)2(x2 + 2x + 2)

Разложение подынтегральной дроби в сумму простейших имеет

вид

x dx

=

A

+

B

+

Cx + D

.

(x − 1)2(x2 + 2x + 2)

(x − 1)2

x − 1

x2 + 2x + 2

111

Тогда

A(x2 + 2x + 2) + B(x − 1)(x2 + 2x + 2) + (Cx + D)(x − 1)2 = x,

(B + C)x3 + (A + B − 2C + D)x2 + (2A + C − 2D)x+ +2A − 2B + D = x,

A + B 2C + D = 0,			A + 3B + D = 0,
B + C	= 0,			C = −B,
	−
2A + C 2D = 1,			2A B 2D = 1,
	−			− −
2A − 2B + D = 0,			2A − 2B + D = 0.

1

Складываем почленно три последних уравнения: 5A = 1, A = 5 .

Подставляем найденное значение A во второе и четвертое уравнение. Имеем

	3B + D = −		1		,				1			8			1
																.
				5				B =		, D =	−		, C =	−
					2 ,				25			25			25
		2B + D =
	−		−			5

Вычисляем интеграл

(x − 1)2(x2

+ 2x + 2) =

x dx

=

1

1

1

x + 8

+

−

·

dx =

5(x − 1)2

25(x − 1)

25

x2 + 2x + 2

1

1

1

(2x + 2) + 14

=

−

+

ln |x −

1| −

dx =

5(x − 1)

25

50

x2 + 2x + 2

=

−

1

+

1

ln |x − 1|−

5(x

−

1)

25

1

d(x2 + 2x + 2)

7

dx

=

−

dx

−

50

x2 + 2x + 2

25

(x + 1)2 + 1

=

1

+

1

ln

(x − 1)2

7

(x + 1) + C.

−5(x

−

1)

50

x2 + 2x + 2 −

25 arctg

112

3. Вычислить	x3 + x − 1 dx
	(x2 + 2)2	.

x3 + x − 1

Разложение дроби (x2 + 2)2 в сумму простейших имеет вид

x3 + x − 1	=	Ax + B	+	Cx + D	.
(x2 + 2)2		x2 + 2
				(x2 + 2)2

Откуда следует

(Ax + B)(x2 + 2) + Cx + D = x3 + x + 1,

Ax3 + Bx2 + (2A + C)x + 2B + D = x3 + x − 1,

A = 1,

A = 1,

B = 0,

B = 0,

2A + C = 1,

C =

−

1,

2B + D = −1,

D = −1,

3

(x2

+ 2)2

(x2 + 2)2

x2 + 2 −

x + x

− 1

dx =

x

x + 1

dx =

1

d(x2)

=

1

−

dx

ln(x2 + 2) −

=

2

2

(x2 + 2)2

(x2 + 2)2

=

1

ln(x2

+ 2) +

1

−

dx

.

2

2(x2 + 2)

(x2 + 2)2

Последний интеграл вычисляем по рекуррентной формуле

In+1 =

2n − 1

In +

x

,

(3.3)

2na2(x2 + a2)n

где In =

2na2

(x2 + a2)n .

dx

По формуле (3.3) имеем

4

x2 + 2

+ 4(x2 + 2) =

I2 =

(x2

+ 2)2 =

dx

1

dx

x

=

x

1

x

+

4√

arctg

√

+ C.

4(x2 + 2)

2

2

113

Окончательно получаем

x3 + x − 1

dx =

1

ln(x2 + 2) +

2

x

1

x

+ C.

(x2 + 2)2

4(x2−+ 2) −

2

4√2 arctg √2

x + 1)4

4. Вычислить

(

dx.

(x2 + 2x + 2)3

Для простоты вычислений сделаем замену x + 1 = t. Тогда

x + 1)4

t4

(

dx =

dt.

(x2 + 2x + 2)3

(t2 + 1)3

t4

Разложение правильной дроби (t2 + 1)3 в сумму простейших имеет вид (смотри пояснение в 5 задаче предыдущего занятия)

t4	=	A	+	B	+	C
							.
(t2 + 1)3		t2 + 1		(t2 + 1)2		(t2 + 1)3

Найдем коэффициенты:

A(t2 + 1)2 + B(t2 + 1) + C = 4,

At4 + (2A + B)t2 + A + B + C = t4,

	2A + B = 0,			B = 2,
		A = 1,			A	= 1,
						−
	A + B + C = 0,			C = 1.
Далее имеем			t2 + 1 − 2	(t2 + 1)2 +
	(t2 + 1)3 dt =							(t2 + 1)3 .
	t4		dt	dt				dt

При вычислении интегралов из правой части используем рекур-

114

рентную формулу (3.3).

dt

I1 =

t2 + 1

= arctg t,

= 2 arctg t +

2(t2 + 1) ,

I2 =

(t2 + 1)2

= 2 I1 +

2(t2 + 1)

dt

1

t

1

t

I3 =

(t2 + 1)3

= 4 I2 +

4(t2 + 1)2 =

dt

3

t

3

1

t

t

=

arctg t +

+

=

4

2

2(t2 + 1)

4(t2 + 1)2

=

3

arctg t +

3t

+

t

.

8

8(t2 + 1)

4(t2 + 1)2

Окончательно получаем

x + 1)4

t4

(

dx =

dt =

(x2 + 2x + 2)3

(t2 + 1)3

t

3

3t

t

= arctg t − arctg t −

+

arctg t +

+

+ C =

t2 + 1

8

8(t2 + 1)

4(t2 + 1)2

=

x + 1

5(x + 1)

3

arctg (x

+ 1) + C.

−

+

4(x2 + 2x + 2)

8(x2 + 2x + 2)2

8

(5x2 − 12)

5. Вычислить (x2 − 6x + 13)2 dx.

Разложение подынтегральной дроби на простейшие имеет вид

	(5x2 − 12)	=	Ax + B		+	Cx + D	.
	(x2 − 6x + 13)2		x2 − 6x + 13			(x2 − 6x + 13)2

Однако, это разложение можно получить, не вычисляя коэффициентов, с помощью элементарных преобразований.

	(5x2 − 12)		dx =	(5(x2 − 6x + 13)				+ 30x − 77)		dx =
	(x2 − 6x + 13)2
							(x2 − 6x + 13)2
	=		5			+	30x − 77		dx.
			− 6x + 13				(x2 − 6x + 13)2
	x2

115

Вычислим отдельно интегралы, входящие в последнее выражение.

5 dx

= 5

dx

=

5

x − 3

+ C,

x2 − 6x + 13

(x − 3)2 + 4

2 arctg

2

30x − 77

dx =

15(2x − 6) + 13

dx =

(x2 − 6x + 13)2

(x2 − 6x + 13)2

d(x2

6x + 13)

dx

= 15

−

+ 13

=

(x2 − 6x + 13)2

(x2 − 6x + 13)2

= −

15

+ 13

dx

.

x2 − 6x + 13

(x2 − 6x + 13)2

Последний интеграл вычисляем с помощью рекуррентной формулы

In+1 =

4n − 2

In +

2x + p

,

где

n(4q − p2)

n(4q

− p2)(x2 + px + q)n

(x2 + px + q)n . Имеем

dx

dx

2

2x

6

I2 =

=

I1

+

−

=

(x2 − 6x + 13)2

52 − 36

(52 − 36)(x2 − 6x + 13)

=

1

dx

+

x − 3

=

(x − 3)2 + 4

8(x2 − 6x + 13)

8

=

1

arctg

x − 3

+

x − 3

.

16

8(x2 − 6x + 13)

Таким образом,

2

30x − 77

dx =

(x2 − 6x + 13)2

15

+

13

arctg

x − 3 +

13(x − 3)

=

−

x2 − 6x + 13

16

2

8(x2 − 6x + 13)

=

13x − 159

+

13

arctg

x − 3

8(x2 − 6x + 13)

16

2

116

Окончательно получаем

x + 1)4

(

dx =

(x2 + 2x + 2)3

=

5

arctg

x − 3

+

13x − 159

+

13

arctg

x − 3

+ C =

8(x2 − 6x + 13)

2

2

16

2

=

13x − 159

+

53

arctg

x − 3

+ C.

8(x2 − 6x + 13)

16

2

6. Вычислить

dx

.

(x + 3)3(x + 2)2(x + 1)

1

Разложение дроби (x + 3)3(x + 2)2(x + 1) в сумму простейших запишем следующим образом

1

=

A0

+

A1

+

A2

+

(x + 3)3(x + 2)2(x + 1)

(x + 3)3

(x + 3)2

x + 3

+

B0

+

B1

+

C0

.

(x + 2)2

x + 2

x + 1

При вычислении неопределенных коэффициентов воспользуемся формулой (1.4)

1 dk

P (x)

Ak =

(x − a)n

x=a , k = 0, 1, 2, . . . (n −

1),

k!

dxk

Q(x)

P (x)

=

P (x)

— правильная дробь, P (a) = 0, Q1(a) = 0.

Q(x)

(x − a)nQ1(x)

В нашем случае

Ak =

1 dk

1

x=−3 , k = 0, 1, 2.

k!

dxk

(x + 1)(x + 2)2

117

A0

=

1

x=

= −

1

,

3

(x + 1)(x + 2)2

−

2

A1

=

d

1

x=−3

=

dx

(x + 1)(x + 2)2

= −

1

−

2

x=−3

= −

5

,

(x + 1)2(x + 2)2

(x + 1)(x + 2)3

4

1

d2

1

A2 =

x=−3

=

2!

dx2

(x + 1)(x + 2)2

=

1

2

+

4

+

6

2

(x + 1)3(x + 2)2

(x + 1)2(x + 2)3

(x + 1)(x + 2)4

=

−

17

.

8

Bk =

1 dk

1

x=−2

,

k = 0, 1.

k!

dxk

(x + 1)(x + 3)3

1

x=

= −1,

B0 =

2

(x + 1)(x + 3)3

−

d

1

x=−2

B1 =

=

dx

(x + 1)(x + 3)3

= −

1

−

3

x=−2

= 2.

(x + 1)2(x + 3)3

(x + 1)(x + 3)4

C0 =

1

x=

1 =

1

.

(x + 2)2(x + 3)3

−

8

Таким образом,

(x + 3)3(x + 2)2

(x + 1) =

dx

=

x=−3

= −	1		5		17		1	2		+
		−		−		−		+
	2(x + 3)3		4(x + 3)2		8(x + 3)		(x + 2)2		x + 2

118

1

1

5

17

1

+

dx =

+

−

ln |x + 3| +

+

8(x + 1)

4(x + 3)2

4(x + 3)

8

x + 2

+2 ln |x + 2| +

1

1

5

1

ln |x + 1| + C =

+

+

+

8

4(x + 3)2

4(x + 3)

x + 2

1

(x + 1)(x + 2)16

1

x + 2+

+ 8 ln

(x + 3)17

+ C = 4(x + 3)2(x + 2)

#

1

(x + 1)(x + 2)

16

2

+

+ C =

+5(x + 3)(x + 2) + 4(x + 3)

$

8 ln

(x + 3)17

2

+ 50x + 68

1

1)(x + 2)

16

=

9x

+

(x +

4(x + 3)2(x + 2)

8 ln

(x + 3)17

+ C.

Задачи для самостоятельной работы

1.

x dx

2.

2

dx.

x3 − 3x + 2 .

x2 − 3x + 2

x

3.

dx

.

4.

x2 dx

.

(x2 − 4x + 4)(x2 − 4x + 5)

(x2 + 2x + 2)2

5.

dx

.

6.

3x + 1

dx.

(1 + x3)2

x(1 + x2)2

Ответы

1

+

2

ln

x 1

+ C

5x − 6

+ 4 ln

x − 1

+ C

1. −

3(x

1)

x − 2

.

.

9

2. −x2

3x + 2

x

−

2

1

−

−

1−

3.

arctg (x

2) +

C. 4.

+ arctg (x

+ 1) + C.

−x

2 −

−

x2

+ 2x + 2

−

1

2

2

1

x

+

ln

(x + 1)

+

2x − 1

+C

ln x

ln(1+

5. 3(x3 + 1)

. 6.

9

x2 − x + 1

3√3 arctg

√3

| |−

2

+ x2) +

3x + 1

+

3

arctg x + C.

2(x2 + 1)

2

119

Занятие 9. Метод Остроградского

В основе метода Остроградского лежит выделение рациональной

P (x)

части от первообразной правильной рациональной дроби Q(x) .

Итак, пусть многочлен Q(x) имеет кратные корни. Представим многочлен Q(x) в виде произведения Q(x) = Q1(x)Q2(x), где корни Q1(x) есть корни многочлена Q(x) с кратностями каждый на единицу меньше, а Q2(x) содержит все оставшиеся корни многочлена Q(x) (которые очевидно будут простыми для многочлена Q2(x)).

Справедливо соотношение

	P (x)		M (x)	+	N (x)
		dx =				dx,	(3.4)
	Q(x)		Q1(x)		Q2(x)

где M (x) и N (x) — многочлены с неопределенными коэффициентами, степени которых на единицу меньше, чем у многочленов в знаменателях. Неопределенные коэффициенты вычисляются после дифференцирования равенства (3.4).

Поясним сказанное на примере.

dx

П р и м е р. Вычислить x(x2 + 1)2 . Представим интеграл в виде

	x(x2 + 1)2 =	x2 + 1
	dx	Ax + B

+ Cx2 + Dx + E .

x(x2 + 1)

Дифференцируем это равенство:
1		=	A(x2 + 1) − 2x(Ax + B)	+	Cx2 + Dx + E
	x(x2 + 1)2		(x2 + 1)2		x(x2 + 1)

Откуда, после приведения к общему знаменателю, имеем

A(x3 + x) − 2x2(Ax + B) + (Cx2 + Dx + E)(x2 + 1) = 1, Cx4 + (−A + D)x3 + (−2B + C + E)x2 + (A + D)x + E = 1.

120