MMATHAN05

7.		dx		8.		sin x + 2 cos x − 3	dx
		sin6 x + cos6 x .
						sin x − 2 cos x + 3 .

Ответы

1

3 tg

x

+ 1

1

2

1.

2

+ C

. 2.

ln

(1 − cos x)(2 + cos x)

+ C

√5 arctg

√5

6

1

(1 + cos x)3

.

1

√

a tg x

3. x − √

arctg ( 2 tg x) + C.

4.

arctg

+ C.

ab

b

2

5.

1

ln

( ctg x + 1)2

1

2 ctg x − 1

+ C

−6

ctg 2x − ctg x + 1 − √3 arctg

√3

.

1

√

− sin 2x +C

tg 2x

+C

4

ln

6.

ln

2

. 7. arctg

.

8.

sin x

2 cos x+3

2√2

√2 + sin 2x

2

5

|

−

|−

6

5 tg

x

+ 1

3

−

arctg

2

−

x + C.

5

2

5

Занятие 12. Определенный интеграл

Задание

Найти интегралы.

2

1.x(x2 − 3)9 dx.

0

1

xdx

3.x2 + 2x + 2 .

−1

π

5.cos2 x dx.

0

2.	2		x2 + 7x + 10 .
	1
			dx
	π
	2	cos x√
4.	0				dx.
				sin x

5

6.|x − 2| dx.

1

141

e

7.ln x dx.

1

π

9.(2x + 3) cos 5x dx.

0

π

11.| sin x| dx.

−π

1

13.x sin πx dx.

−1

2

8.x 2x dx.

0

π

10.(x sin x)2 dx.

0

π

12.x8 sin x dx.

−π

1

14.(x5 + x4 + 3x3 + x2 + 1) dx.

−1

Решения

Если функция f (x) определена и непрерывна на сегменте [a, b] и F (x) — ее первообразная, то имеет место формула Ньютона— Лейбница

									b										b
										f (x) dx = F (x) a = F (b) − F (a).																								(3.7)
								a
	Применяя эту формулу к вычислению																							определенного интеграла
получаем:
1.	2													2															2	= 20 (1−310).
		x(x2 −3)9 dx = 2 (x2 −3)9 d(x2) = 20 (x2 −3)10																											0
	0									1										1										1
												0
	2					dx						2					dx			1				2		1				1
2.	1								= 1											=				1					−					dx =
				x2 + 7x + 10											(x + 2)(x + 5)								3				x + 2				x + 5
		1				x + 2		2		1				4			1			1				8
	=				ln			=						ln			− ln		=			ln			.
			3			x + 5					3					7		2			3			7
								1
142

	1					x dx									=			1			1		(2x + 2) − 2				dx =									1	1		d(x2 + 2x + 2)
3.				x2 + 2x + 2														2																		2			x2 + 2x + 2											−
																							x2 + 2x + 2
	−1				1															−1									1								−1								1
	−					(x + 1)2 + 1 = 2 ln(x2 + 2x + 2)																								1		− arctg (x + 1)														1	=
					1				dx								1
		−																										−																−
		1
	=				ln 5 − arctg 2.
			2
	π																		π																				π
4.	2																2								1												3	2			= 3 .
		cos x√sin x dx = (sin x) 2 d(sin x) = 3 (sin x) 2																																				0
	0																0													2												2
	π															π																								π
5.		cos2 x dx = 2													(1 + cos 2x) dx = 2													x +							2						= 2 .
																																						0
	0											1			0										1										sin 2x									π
	5	| −						|								−	2						−		5						−									−					2		2	2
6.																																										(x					2)	1
				x			2		dx =												(x				2) dx + (x									2) dx				=							−					+
	1																1								2
								2			5
															1				9
	+		(x − 2)									=				+					= 5			.
															2
						2											2
										2

Если функции u(x), v(x) C(1)[a, b], то имеет место формула интегрирования по частям для определенного интеграла

b	b	b

u dv = uv − v du. (3.8)

a

a

a

Применим формулу (3.7) к вычислению следующих интегралов.

7.	ln x dx = u = ln x,	du =	x		= x ln x	dx = 1.
e			dx		e	e
	dv = dx,	v = x			1	−
1						1

2

8.

0

x 2x dx =	u = x,	du = dx				= ln 2		2	−	2	ln 2 dx =
	dv = 2x dx,	v = 2x						0
							x2x				2x
			ln 2

143

			8							2x			2					8								3
	=					−								=								−							.
			ln 2						ln2 2								ln 2									ln2 2
												0
	π																							u = 2x + 3,																			2 dx							=
9.		(2x + 3) cos 5x dx =																																			du =sin 5x
																								dv = cos 5x dx,													v =
	0			+ 3										π				2			π										2										π			5
										sin 5x																							cos 5x															4
		=	2x												−									sin 5x dx =																			= −								.
			5															5														25																	25
														0																										0
																					0
	π																	π																															π
														1																							x3			π				1
10.		(x sin x)2 dx =																			x2(1 − cos 2x) dx =																			0		−								x2 cos 2x dx =
															2																						6								2
	0															0																																0
										2											du = 2x dx
	=			u = x ,																											=
																											sin 2x
		dv = cos 2x dx,																			v =
																												2
			π3			1					x2 sin 2x										π						π												π3					1					π
	=																		0				− x sin 2x dx													=						+						x sin 2x dx =
				−
			6				2							2																										6						2
																										0																						0
	=			u = x,															du = dx												=			π3						1			x cos 2x									π	+
																												cos 2x										−
				dv = sin 2x dx,																	v =														6						4
																										−		2																						0
	1		π													π3
			0			cos 2x dx =																		π
	+																			−					.
		4														6								4

Интегралы в симметричных пределах от четных и нечетных функций можно вычислять используя следующее правило:

1) Если непрерывная функция четная на сегменте [−a, a], то

a

a

f (x) dx = 2	f (x) dx.	(3.9)
−a	0

144

2) Если непрерывная функция нечетная на сегменте [−a, a], то

a

f (x) dx = 0.

(3.10)

−a

π
11. Вычислим	| sin x| dx.

−π

Функция f (x) = | sin x| — четная. Поэтому согласно (3.8)

π

π

π

−	π | sin x| dx = 2	0	sin x dx = −2 cos x 0	= 4.

π
12. Вычислим	x8 sin x dx.

−π

Для непосредственного вычисления этого интеграла потребовалось бы 8 раз применить формулу интегрирования по частям. Но, замечая что функция f (x) = x8 sin x — нечетная и интегрируется в симметричных пределах, можем сразу записать ответ:

π

x8 sin x dx = 0.

−π

1

13. Вычислим

x sin πx dx.

−1

Подынтегральная функция f (x) = x sin x — четная. Поэтому

1

1

u = x,

du =

dx

x sin πx dx = 2

x sin πx dx =

cos πx

=

−1

0

−

π

1

dv = sin πx dx

v =

1

cos πx dx = 2

1

= 2

−

x

0

+

+

sin πx

0

=

.

π

π

π

π2

π

cos πx

1

1

1

2

0

145

1

14. Вычислим (x5 + x4 + 3x3 + x2 + 1) dx.

−1

Используя четность и нечетность слагаемых в подынтегральной функции, получаем

1 1

(x5 + x4 + 3x3 + x2 + 1) dx = 2 (x4 + x2 + 1) dx =

−1					0
= 2 5	+ 3 + x	1	= 2 5		+ 3 + 1 =		15 .
x5	x3	0		1	1		46

Задачи для самостоятельной работы

	√
1.		3		1 + x2 .
				dx

1

√

3

2

3.|1 − x| dx.

0

ln 2

5.x e−x dx.

0

2π

7.x2 cos x dx.

0

1

9.arccos x dx.

0

1

2

2.			√	dx	.
				1 x2
	−21			−
4.	1	x2 − 2x cos α + 1 (0 < α < π).
				dx
−1

π

6.x sin x dx.

0

e

8.| ln x| dx.

1 e

√

3

10.x arctg x dx.

0

146

11.	1	x(2 − x2)12 dx.	12.	1	x2 + x + 1 .
					x dx
	0			−1

Ответы

	π					π						1. 4.			π							1	ln	e	. 6. π. 7. 4π. 8. 2				1	1		. 9.	1.
1.			.	2.				. 3.										.	5.											−
	6					3									2 sin α							2		2							e
		2π					√						8191						1
10.									3			11.					12.				ln 3 −					π
					−					.						.										2√		.
		3					2							26						2
																											3

Занятие 13. Замена переменной в определенном интеграле

Задание

Найти интегралы.

1.

4

1 + √x .

0

dx

0 √

x + 1

3.

√3

+ 1

dx.

x + 1

−1

π

5.

2

3 + 2 cos x .

0

dx

√

7.

3

x2√4 x2 .

dx

√

−

2

1
2.
	x7		1 + 3x4 dx.
0

3 ln 2

4. √1dx+ ex .

ln 3

√

3

2

6.1 − x2 dx.

0

3

8. √1dx+ x2 .

0

147

	1
	2
9.	0		1		+ x
						dx.
				1	− x

3

10.arccos

0

x

1 + x dx.

Решения

	4	dx
1.	Вычислим
		1 + √		.
			x
	0							√
	Обычно рекомендуется замена корня									= t. Но в данном слу-
									x
	чае удобней сделать замену 1 +				√		= t. Тогда
						x

x = (t − 1)2, dx = 2(t − 1) dt.

√

После замены 1 + x = t мы должны√изменить пределы инте-

грирования. Если x = 0, то t = 1 + 0 = 1. Если x = 4, то t = 1 + √4 = 3. Итак,

4

dx

√

1 + x

3

= 2 t − 1 dt = 2 t

	3	1
	1			dt =
		−
			t

0 1 1

		= 2 (t − ln t) 3										= 2(3 − ln 3 − 1) = 2(2 − ln 3).
											1
	1
	0
2. Вычислим				x7 1 + 3x4 dx.
Замена √								= t. Тогда
			1 + 3x4
		x4 =			t2 − 1				,			4x3 dx =					2t dt		,	x3 dx =			1	t dt,
				3											3						6
x = 0 t = √														= 1, x = 0 t = √											= 2,
										1 + 0											1 + 3
1											1									2		t2 − 1					1
																										t		t dt =
x7		1 + 3x4 dx = x4														1 + 3x4 x3 dx =
																											6
																					3
0											0									1
148

2

5

−

3

2

= 18

(t4 − t2) dt = 18

1 =

1

1

1

t5

t3

1

32

8

1

1

29

=

−

−

+

=

.

18

5

3

5

3

135

0 √

x + 1

3. Вычислим

√3

+ 1

dx.

x + 1

−1

√6

6

5

√

3

x + 1 = t,

x = t

− 1,

dx = 6t

,

Замена

dt,

x + 1 = t

√3

2

, x = −1 t = 0, x = 0 t = 1,

x

+ 1 = t

0

√

1

t8

1

x + 1

√3

+ 1

dx

= 6

dt = 6

t6 − t4 + t2 − 1+

t2 + 1

x + 1

−1

0

0

#

+ 1 + t2 dt = 6

t7

− 5

+

3

− t + arctg t

1

=

1

7

t5

t3

0

= 6

1

−

1

+

1

− 1 +

π

=

3π

−

152

.

7

5

3

4

2

35

3 ln 2

4. Вычислим ln 3

√

dx

.

1 + ex

√

2

2t dt

Замена

1 + e

x

= t,

x = ln(t

−

1),

dx =

,

t2 − 1

x = ln 3 t =

1 + eln 3

= 2, x = 3 ln 2 t =

1 + eln 8

= 3,

3 ln 2

3

t2

− 1 = 2

3

(t − 1)(t + 1) =

ln 3

√1 + ex = 2

2

2

dx

dt

dt

149

		3						1				− t + 1																					3						4	−					3				2
	t					1																		t + 1 2
	=																		dt = ln							−								= ln									ln				= ln				.
	2					−
						π
						2								dx
5.	Вычислим 0																		.
								3 + 2 cos x
	Замена					tg				x			= t, x = 2 arctg t,													dx =								2 dt					,		cos x =								1 − t2			,
																																		1 + t2															1 + t2
								2
																													π													π
			x = 0 t = tg 0 = 0, x =																														t			= tg								= 1,
																													2													4
	π																	1																									1
	2																		(1 + t2)					3 + 2 − 2t2													= 2									t2 + 5 =
		3 + 2 cos x =
					dx																			2 dt																							dt
	0											0																															0
																												1 + t2
												= √5 arctg √5											1		= √5 arctg												√5 .
												2								t		0						2											1
						√
							3
						2
					0
6.													1 − x2 dx.
	Вычислим
																																													√
	Замена x = sin t, dx = cos t dt,																							x = 0 t = 0,																x =							3		t =				π	,
																																													2								3
			√																π															π
				3
		2																	3											1			3
							1 − x2 dx =													cos2 t dt =													(1 + cos 2t) dt =
																														2
		0																	0														0
																										π
																										3
												= 2							t +	2								=					6 +			8 .
												1								sin 2t				0								π				√3

150