MMATHAN05

=	M0x + N0	+	M1x + N1	+ · · · +	Mn−1x + Nn−1	+	R(x)	,
	(x2 + px + q)n		(x2 + px + q)n−1		x2 + px + q		Q1(x)
							(1.5)

где Mk и Nk ,				k = 0, 1, 2, . . . , n − 1, — действительные постоянные и
	R(x)
			— правильная дробь.
	Q1(x)
		Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем сначала, что дробь								P (x)
										Q(x)
можно представить в виде
			P (x)		=	M0x + N0	+	P1(x)		(1.6)
		(x2 + px + q)n Q1(x)				(x2 + px + q)n		(x2 + px + q)n−1Q1(x)

Предположим, что это представление имеет место. Умножим обе части этого равенства на (x2 + px + q)n Q1(x)

P (x) = (M0x + N0)Q1(x) + (x2 + px + q)P1(x).

Положим x = a + bi
	P (a + bi)
Откуда (M0a + N0) + M0bi =				= α + βi или
	Q1(a + bi)
M0b = β			= α		.
M0a		+ N0
Определитель этой системы	a	1	= −b		отличен от нуля, система
	b	0
					P1(x)
имеет единственное решение,	M0 и N0 находятся однозначно. При
найденных коэффициентах M0		и M0 дробь (x2 + px + q)n−1Q1(x)
равна		P (x)			M0x + N0
P1(x)
P (a + bi) = [M0	(a + bi) + N0				]Q1(a + bi).

(x2 + px + q)n−1Q1(x) = (x2 + px + q)nQ1(x) − (x2 + px + q)n

и будет правильной как разность правильных дробей.

21

Аналогично последнюю дробь в (1.6) можно представить в виде

P1(x)

=

M1x + N1

+

P2(x)

,

(x2 + px + q)n−1Q1(x)

(x2 + px + q)n−1

(x2 + px + q)n−2Q1(x)

и разложение (1.6) становится следующим

P (x)

=

(x2 + px + q)nQ1(x)

=

M0x + N0

M1x + N1

P2(x)

+

+

.

(x2 + px + q)n

(x2 + px + q)n−1

(x2 + px + q)n−2Q1(x)

Продолжая этот процесс, получим разложение (1.5).

С л е д с т в и е. Если многочлен Q(x) имеет следующее разложение на простейшие множители

Q(x) = (x − a)n (x − b)m · · ·(x − c)k ·

· (x2 + p1x + q1)r (x2 + p2x + q2)s · · · (x2 + pl x + ql)t ,

и степень P (x) ниже степени Q(x), то рациональная дробь

P (x)

име-

Q(x)

ет следующее представление

P (x)

A0

A1

A2

An−1

=

+

+

+ · · · +

+

Q(x)

(x − a)n

(x − a)n−1

(x − a)n−2

x − a

+

B0

B1

B2

Bm−1

+

+

+ · · · +

+

(x − b)m

(x − b)m−1

(x − b)m−2

x − b

.....................................................................................

+

C0

C1

C2

Ck−1

+

+

+ · · · +

+

(x − c)k

(x − c)k−1

(x − c)k−2

x − c

+

D0x + E0

+

D1x + E1

+ · · · +

Dr−1x + Er−1

+

(x2 + p1x + q1)r

(x2 + p1x + q1)r−1

x2 + p1x + q1

+

F0x + G0

+

F1x + G1

+ · · · +

Fs−1x + Gs−1

+

(x2 + p2x + q2)s

(x2 + p2x + q2)s−1

x2 + p2x + q2

.....................................................................................

+

H0x + I0

+

H1x + I1

+ · · · +

Ht−1x + It−1

(x2 + plx + ql )t

(x2 + plx + ql )t−1

x2 + plx + ql

.

22

П р и м е р

Разложение рациональной дроби

4x2 − 7x2 − 3x + 16 (x − 4x + 4)(x2 + x + 1)

на простейшие дроби имеет вид
	4x2 − 7x2 − 3x + 16	=	A	+	B	+	Cx + D	.
	(x − 2)2(x2 + x + 1)		(x − 2)2		x − 2		x2 + x + 1

Для нахождения коэффициентов A, B, C, D приведем последнее равенство к общему знаменателю. Получаем

A(x2 + x + 1) + B(x − 2)(x2 + x + 1) + (Cx + D)(x2 − 4x + 4) = = 4x3 − 7x2 − 3x + 16,

или после элементарных преобразований

(B + C)x3 + (A − B − 4C + D)x2 + (A − B + 4C − 4D)x+ +A − 2B + 4D = 4x3 − 7x2 − 3x + 16.

Приравнивая коэффициенты слева и справа при одинаковых степенях, получаем систему уравнений для нахождения коэффициентов

B + C = 4,

A − B − 4C + D = −7,

A − B + 4C − 4D = −3,

A − 2B + 4D = 16.

Решая ее, получаем
	A = 2, B = 1, C = 3, D = 4.
Тогда
	4x2 − 7x2 − 3x + 16	=	2	+	1	+		3x + 4	.
	(x − 2)2(x2 + x + 1)		(x − 2)2		x − 2		x2 + x + 1

23

1.4.3. Интегрирование простейших дробей

Интегралы от дробей вида

A

равны

(x − a)n

x − a dx = A ln |x − a| + C,

A

(x − a)n dx =

(1 − n)(x − a)n−1 + C, n = 1.

A

A

M x + N

p2

Для интегрирования дроби

,

− q < 0, выделим

(x2 + px + q)n

4

полный квадрат квадратного трехчлена x2 + px + q

p

p

2

p

2

p

2

p2

x2 + px + q = x2 + 2 ·

· x +

+ q −

=

x +

+ q −

.

2

2

2

2

4

Тогда

M

(2x + p) + N

M

p

x2 + px + q dx =

2

x2 + px + q−

2

dx =

M x + N

M

d(x2 + px + q)

M p

dx

=

+ N −

=

2

x2 + px + q

2

x +

p

2

p2

p + q −

M p

2

4

M

N −

x +

=

2

2

2

ln(x + px + q) +

arctg

+ C.

2

q −

p2

q −

p2

4

4

При n > 1 имеем

M

M

M x + N

dx =

(2x + p) + N

−

p

2

2

dx =

(x2 + px + q)n

(x2 + px + q)n

M

d(x2 + px + q)

N

M p

dx

=

+

−

=

2

(x2 + px + q)n

2

(x2 + px + q)n

= −2(n − 1)(x2 + px + q)n−1 +

N −

2

(x2 + px + q)n ,

M

M p

dx

24

dx

где интеграл (x2 + px + q)n вычисляется с помощью одной из рекуррентных формул (1.7) или (1.8) (см. следующий пункт).

1.4.4. Вывод рекуррентной формулы

После интегрирования по частям

In = (x2 + a2)n

=

u = (x2 + a2)n

du = (x2−+ a2)n+1

=

dx

1

v = x

n2xdx

dv = dx

=

x

+ 2n

x2 + a2 − a2

dx =

x

+ 2nI

2na2I

,

(x2

+ a2)n

(x2

+ a2)n

(x2 + a2)n+1

n −

n+1

получаем уравнение для нахождения In+1

In = x + 2nIn − 2na2In+1.

(x2 + a2)n

	Откуда	2n − 1		x
	In+1 =		In +		.	(1.7)
				2na2(x2 + a2)n
		2na2

Заменим в формуле (1.7) x на x +

p

p2

и a2 на q −

. Тогда

2

4

In+1 =

(x2 + px + q)n+1 =

p

2

dx

p2 n+1

dx

x + 2

+ q − 4

2n − 1

x +

p

=

In

+

2

.

2n q −

p2

2n q −

p2

(x2 + px + q)n

4

4

Окончательно получаем

In+1

=

4n − 2

In +

2x + p

.

n(4q − p2)

n(4q

− p2)(x2 + px + q)n

=

(1.8)

25

П р и м е р ы

Найти интегралы

(x2 + 1)3 , 2)

(x2 − x + 1)2 .

1)

dx

dx

1) Используя формулу (1.7), получаем

+ 1)2 =

(x2

+ 1)3

= I3 = 4 I2

+ 4(x2

dx

3

x

3

1

x

x

=

I1

+

+

=

4

2

2(x2 + 1)

4(x2 + 1)2

3

dx

3x

x

3

x(3x2 + 5)

=

+

+

=

arctg x +

+ C.

8

x2 + 1

8(x2 + 1)

4(x2 + 1)2

8

8(x2 + 1)2

2) По формуле (1.8) имеем

I2

=

dx

=

p = −1, q = 1,

=

2

I1 +

2x − 1

=

(x2 − x + 1)2

3

3(x2 − x + 1)

n = 1

=

2

dx

+

2x − 1

=

3

1

3

x −

2

3(x2

−

x + 1)

+

2

4

=

4

2x − 1

+

2x − 1

+ C.

3√3 arctg

√3

3(x2 − x + 1)

1.5 . Интегрирование

иррациональных функций

m

αx + β

Интегрирование выражений вида

R x,

.

γx + δ

Рассмотрим интеграл

	R x, m	γx + δ	dx,
		αx + β

где R — рациональная функция своих аргументов, m ≥ 2 — натуральное число, α, β, , γ, δ — действительные числа.

26

Положим
					γx + δ		α − γtm
		γx + δ
t = m		αx + β	, tm =		αx + β	, x = ϕ(t) =	δtm − β	.

Тогда интеграл преобразуется к

R(ϕ(t))ϕ (t)dt,

где R(ϕ(t))ϕ (t) уже рациональная функция новой переменной t.

Интегралы вида

R x,		γx + δ	,		γx + δ	, · · · ,		γx + δ	dx
	m1 αx + β			m2 αx + β			mk αx + β

сводятся к интегрированию рациональной функции подстановкой

αx + β

t = m γx + δ , где m = Н.О.К.(m1, m2, . . . , mk ).

П р и м е р ы

3

1 − x

dx

.

1) Найти интеграл

1 + x

(1 + x)2

3

1 − x

= t

Сделаем замену

. Тогда

1 + x

1 − x

= t3, x =

1 − t3

, 1 + x =

2

,

1 + t3

1 + t3

1 + x

dx =

−3t2(1 + t3) − 3t2(1 − t3)

dt =

−6t2

dt,

(1 + t3)2

(1 + t3)2

и

(1 + t3)2

−6t2

3

1 − x

dx

=

dt =

1 + x (1 + x)2

4

(1 + t3)2

3

3

3

1 − x

=

t3 dt =

t4

+ C =

3

1 − x

+ C.

−

2

−

8 1 + x

1 + x

−8

27

√

√3

x + 1

dx.

2) Найти интеграл

(√

x + 1 −

√3

+

x + 1

x + 1)2

Наименьшее общее кратное показателей корней 2 и 3 равно m = = Н.О.К.(2; 3) = 6. Следовательно, в этом случае делаем следующую

замену:

√6

t =

x

+ 1.

Тогда, получаем

√

3

,

√3

2

,

x = t

6

− 1, dx = 6t

5

dt,

x + 1 = t

x + 1 = t

√

√3

3

2

4

3

x

+ 1

+ 1

t

t

− x

dx =

− t

6t5 dt = 6

− t

dt =

(√x + 1 + √3 x + 1)2

(t3 + t2)2

(t + 1)2

= 6

t2

−

3t + 5 +

−7t − 5

dt =

(t + 1)2

= 6 t2 − 3t + 5 +

−

7(t + 1) + 2

dt =

(t + 1)2

= 6 t2 − 3t + 5 +

2

−

7

dt =

(t + 1)2

t + 1

= 6

t3

3t2

+ 5t −

2

− 7 ln |t

+ 1| + C =

−

3

2

t + 1

= 2

√

√3

√6

12

+ 1 −

9

+ 1 + 30

+ 1 −

x

x

x

1 + √6

−

x + 1

−42 ln(1 +

√6

x

+ 1) + C.

Интегрирование биномиальных дифференциалов.

Биномиальным дифференциалом называется выражение вида xm(a + bxn)p dx, где a, b — действительные, а m, n, p — рациональные числа.

Пусть требуется вычислить интеграл

xm (a + bxn )p dx.

28

Возможны случаи

√

1 случай. p — целое число. Тогда подстановка t = ν x, где ν наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n, приводит к интегрированию рациональной функции.

	2 случай.			m + 1	— целое число. Сделаем в интеграле замену
				n
z = xn. Тогда
			xm (a + bxn)p dx = n				(a + bz)pz	n − 1 dz.
					1			m+1

√

Подстановка t = ν a + bxn, где ν — знаменатель дроби p, приводит к интегрированию рациональной функции.

3 случай. m + 1 + p — целое число. Сделав ту же замену, что и во втором случаеnсведем интеграл к виду

xm (a + bxn )p dx = n			a		z		p	n + p − 1 dz.
							z
	1				+ bz			m+1

В этом случае замена t = ν a + b приводит нас также к интегри- xn

рованию рациональной функции.

П р и м е р ы

√

1

1

x

dx =

1) Найти интеграл

(1 + √3

)2

x 2 (1 + x 3 )−2 dx.

x

1

1

Этот интеграл относится к первому случаю: m =

, n =

, p = −2

2

3

— целое число. Подстановка t = √6

приводит к интегралу

x

	6t8
	(t2 + 1)2 dt.

Откуда, после выделения целой части рациональной дроби, получа-

29

ем

6t8

t4 − 2t2 + 3 −

4t2 + 3

dt =

dt = 6

(t2 + 1)2

(1 + t2)2

t2 + 1)

1

= 6 t4 − 2t2 + 3 −

4( −

dt

=

(1 + t2)2

24

6

dt =

= 6t4 − 12t2 + 18 −

+

1 + t2

(1 + t2)2

=

6

t5 − 4t3 + 18t

− 24 arctg t + 6

dt

.

5

(1 + t2)2

Последний интеграл вычислим с помощью рекуррентной формулы

I

=

2n − 1

I

+

t

, I =

dx

.

2n(t2 + 1)n

(t2

+ 1)n

Имеем

n+1

2n

n

n

(1 + t2)2

= I2 = 2 I1 + 2(t2 + 1)

= 2 arctg t +

2(t2 + 1)

dt

1

t

1

t

Окончательно,

√

6

3t

x

dx =

t5

− 4t3 + 18t − 21 arctg t +

+ C,

(1 + √3

)2

5

t2 + 1

x

где t = √6

.

x

x5 dx

1

2) Найти интеграл

=

x5(1 − x2)−2 dx.

√

1 − x2

Здесь — второй случай интегрируемости биномиальных диффе-

ренциалов. Действительно, m = 5, n = 2, P =

−

1

,

m + 1

= 4 —

2

n

целое число. После замены

1

получаем

t = (1 − x2) 2

x2 = 1 − t2, x dx = −t dt,

x5 dx

2

t5

√

= − (1 − t2)2 dt = −t +

t3

−

+ C,

3

5

1 − x2

30